1)
La première est immédiate, Un est décroissante sans calcul.
Si tu veux vraiment calculer:

U(n+1) - U(n) = 1 + 1/V(n+2) - (1 + 1/V(n+1))     avec V pour racine carrée.
U(n+1) - U(n) = 1/V(n+2) -  1/V(n+1))
U(n+1) - U(n) = [V(n+1) - V(n+2)] / [V(n+2).V(n+1)]

Le dénominateur est positif et le numérateur est négatif ->
U(n+1) - U(n) < 0
U(n+1) < U(n) et la suite Un est décroissante.
-----
2)
U(n) = (2n²-1)/(n²+1)
U(n+1) = (2(n+1)²-1)/((n+1)²+1)
U(n+1) = (2n²+4n+2-1)/(n²+2n+2)
U(n+1) = (2n²+4n+1)/(n²+2n+2)

U(n+1) - U(n) = [(2n²+4n+1)/(n²+2n+2)] - [ (2n²-1)/(n²+1)]
U(n+1) - U(n) = [(2n²+4n+1)(n²+1) - (2n²-1).(n²+2n+2)]/[(n²+2n+2)(n²+1)]

Le dénominateur est > 0 -> U(n+1) - U(n) a le signe de  [(2n²+4n+1)(n²+1)
- (2n²-1).(n²+2n+2)].

(2n²+4n+1)(n²+1) - (2n²-1).(n²+2n+2) = 2n^4 + 4n³ + 3n² + 4n + 1 - (2n^4 + 4n³ + 3n²
- 2n - 2)
= 4n + 1 - ( - 2n - 2)
= 6n + 3
et donc > 0 quel que soit n
->  U(n+1) - U(n) > 0
U(n+1) > U(n) et la suite Un est croissante.
-----
Sauf distraction.    
  

bonjour

voici qq indications:

considérez la fonction f(x)=1+1/rc(x+1)

Calculez sa dérivée et étudiez ses variations et vous en déduisez le sens
de variation de Un.

remarquez que Un est minorée par 1.

vous concluez.

faites de même pour la deuxième suite.

bon courage

rebonjour

remarquez que:

2-  u(n)= (2n²-1)/(n²+1)
             = (2(n²+1)-3)/(n²+1)
             =2   -   (3/(n²+1))

comme :  -(3/(n²+1))<0

donc u(n)<2 qq soit n.

u(n) est donc majorée par 2.

vous concluez donc quant à sa convergence.

bon courage.