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Études de fonction et suite

Posté par
Rasengan
01-01-21 à 00:33

Bonsoir, j'ai besoin d'aide avec cet exercice s'il vous plaît :

f(x)=xe(-x^2)/2

Soit C la courbe représentative de la fonction f
1)Étude fonction

a) Justifier que pour tout x, f(-x)=-f(x).
Quel est le nom d'une fonction comme celle-ci  et quelle propriété graphique possède sa courbe.

b) Faire le tableau de variations de la fonction f sur [0;+infini[
c) Montrer que C admet une asymptote horizontale et donner la position de C par rapport à l'asymptote

d) montrer que l'équation f(x)=0,5 admet exactement 2 solutions sur R notées alpha et bêta dont on donnera une valeur approchée à 10-3 près.
e) Déterminer une équation de la tangente T0 à C au pont d'abscisses 0.
f) Étudier la convexité de g et déterminer les inventeurs points d'inflexions.
g) Tracer T0 et C dans un repere orthonormé du plan, en choisissant une unité graphique adaptée.

2)Étude d'une suite
Soit (Un) définie par u0=1 et pour tout k appartenant à N, Un+1=f(Un)

a)Montrer par récurrence que pour tout n appartenant à N, 0<=Un<=1.
b) Déduire de la convexité de la fonction f le sens de variation de la suite (Un).
c)Justifier que la suite (Un) est convergente, on note l sa limite.
d) justifier que f(l)=l et en déduire la valeur de l.
e) Construire une fonction seuil en langage Python prenant comme paramètre un entier p, et qui renvoie le plus petit rang n0 à partir duquel, pour tout n=>n0, Un-l<=10-p.
f)Saisir cet algorithme sur Thonny.
g) Que retourne l'instruction Seuil(1)


Voici ce que j'ai fait :

1)a) f(-x)= -xe-(-x^2)/2=
-xe-(x^2)/2

-f(x)=-(xe[sup]-(x^2)/2
)
= -xe-(x^2)/2)

Ainsi f(-x)=-f(x)

Il s'agit d'une fonction impaire. La courbe représentative d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine du repère.

b) il s'agit d'une fonction de la forme u*v ? Ou e^u ?

Merci d'avance

Posté par
Yzz
re : Études de fonction et suite 01-01-21 à 09:18

Salut,

Citation :
b) il s'agit d'une fonction de la forme u*v ? Ou e^u ?
Les deux !

Elle est de la forme u*v avec u(x) = x  et  v(x) = e-x²/2  ,  donc u'(x) = 1  et v'(x) = ...

Posté par
Rasengan
re : Études de fonction et suite 01-01-21 à 15:04

V'(x)= (-2x/2) * e-x^2/2 ?

Posté par
Yzz
re : Études de fonction et suite 01-01-21 à 15:20

Oui (et -2x/2 = ? )

Posté par
Rasengan
re : Études de fonction et suite 01-01-21 à 15:22

-x ?

Posté par
Rasengan
re : Études de fonction et suite 01-01-21 à 16:03

Donc ensuite pour simplifier c'est ça ? :

1*e-x^2/2 + x * (-x)

e-x^2/2 -x^2

Posté par
Yzz
re : Études de fonction et suite 01-01-21 à 17:19

Non.
V'(x)= (-2x/2) * e-x²/2 = -x* e-x²/2

Posté par
Rasengan
re : Études de fonction et suite 01-01-21 à 17:47

Donc f'(x)= 1* e-x^2/2 + (-x) * e-x^2/2
= e-x^2/2(1+(-x))
f'(x)= e-x^2/2 (-x+1) ?

Posté par
Rasengan
re : Études de fonction et suite 01-01-21 à 17:53

e-x^2/2 >0

Et -x+1=0
-x=-1
x=1

Donc le tableau de variation est :

x              |0       1          +infini

e-x^2/2|         +
-x+1      |   +     0     -
f'(x)        |   +     0     -
f(x)         |f(0) croissante f(1) décroissante

Avec f(0)=0
f(1)=0,61

Faut-il faire la limite en +infini ?

Posté par
Rasengan
re : Études de fonction et suite 02-01-21 à 15:47

up

Posté par
carita
re : Études de fonction et suite 02-01-21 à 15:52

bonjour

juste en attendant le retour de Yzz qui reprendra la main dès qu'il le pourra


Rasengan @ 01-01-2021 à 17:47

Donc f'(x)= 1* e(-x^2)/2 + x (-x) * e((-x^2)/2)

ta dérivée est fausse, il manque le x que j'ai rajouté en rouge
puis factorise pour pouvoir étudier le signe de f '(x) sur l'intervalle demandé.

Posté par
Rasengan
re : Études de fonction et suite 02-01-21 à 15:54

Donc e-x^2/2(-x^2+1) ?

Posté par
carita
re : Études de fonction et suite 02-01-21 à 16:02

oui continue (corrige localement ton tableau de variation)

Posté par
Rasengan
re : Études de fonction et suite 02-01-21 à 16:08

e-x^2/2>0

-x2+1=0

Je trouve -1 et 1 en racines

x              |0           1          +infini

e^-x^2/2|         +
-x^2+1    |    +    0     -
f'(x)        |   +  0     -
f(x)         |f(0) croissante f(1) décroissante

Avec f(0)=0
f(1)=0,61

Posté par
carita
re : Études de fonction et suite 02-01-21 à 16:23

sur [; +inf[, une seule racine

tableau juste
rajoute la limite en +inf pour qu'il soit complet

Posté par
Rasengan
re : Études de fonction et suite 02-01-21 à 16:27

Oui, il n'y a que 1 mais je précise qu'il y a 2 racines mais une qui n'appartient pas à [0;+infini[ ?

La limite est 0 ? Comment savoir si c'est 0+ ou 0- ?

Posté par
carita
re : Études de fonction et suite 02-01-21 à 16:29

je précise qu'il y a 2 racines mais une qui n'appartient pas à [0;+infini[   ok

Comment savoir si c'est 0+ ou 0- ?  à ton avis quel est toujours le signe de f(x) sur l'intervalle posé ?

Posté par
Rasengan
re : Études de fonction et suite 02-01-21 à 16:32

Ah oui,  donc 0+

Pour la question suivante, est-ce qu'il faut calculer la limite en 0 ?

Posté par
carita
re : Études de fonction et suite 02-01-21 à 16:35

1c)
pour une asymptote horizontale ?... regarde le cours

en fait sur cette question, il ne te reste qu'à lire le tableau de variation que tu viens de compléter...

Posté par
Rasengan
re : Études de fonction et suite 02-01-21 à 16:39

Comme on a lim f(x)= 0+  
                            x->+infini

Soit de la forme lim f(x)= l
                                x->+infini

Alors la droite d'équation y=0 admet une asymptote horizontale à C au voisinage de +infini

Et comme f(x)>0 et admet en minimum f(1)=0,67, la courbe est au dessus de l'asymptote

Posté par
Rasengan
re : Études de fonction et suite 02-01-21 à 16:57

Ensuite pour la question d)  :
On s'intéresse à l'équation f(x)=0,5
On regarde si 0,5 est compris entre f(0) et f(1) et entre f(1) et lim f(x)

f(0)=0
f(1)=0,607
lim f(x)=0+


x              |0     Alpha      1      0    +infini

e^-x^2/2|         +
-x^2+1    |    +    0     -
f'(x)        |   +  0     -
f(x)       |f(0) croiss0ante f(1)décroi0ssante

f est continue sur [0;+infini[
f est strictement croissante sur [0;1]ou [0;1[ ?
et strictement décroissante sur [1;+infini[

Donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f(x) admet exactement 2 solutions
0,5 est compris entre f(0) et f(1) et entre f(1) et lim f(x)

Je n'ai pas encore calculé Bêta et alpha mais pour l'instant c'est correcte ? Je ne suis pas sur de la rédaction

Posté par
Rasengan
re : Études de fonction et suite 02-01-21 à 16:57

Je voulais mettre bêta dans le tableau pas 0 en x

Posté par
carita
re : Études de fonction et suite 02-01-21 à 17:13

Et comme f(x)>0 et admet en minimum f(1)=0,67, la courbe est au dessus de l'asymptote
en rouge, faux

et f(x) 0 d'après le tab. de variation --- f(0)=0

Cf au dessus de l'asymptote, oui.

d) oui distinguer la monotonie sur les 2 intervalles

à mon avis, pas utile de remettre un tableau de variation :
simplement une application correctement rédigée du TVI suffira
1°) sur [0;1]
2°)sur [1;+inf[
(deux rédactions séparées, à revoir pour plus de clarté : cf exemples du cours que tu dois avoir)

Posté par
Rasengan
re : Études de fonction et suite 02-01-21 à 17:18

Donc la courbe est confondu en x=0  avec l'asymptote ?

Ah oui je me suis trompé, mais donc quel justification dois-je mettre à la place de ce qui est en rouge ?

Posté par
carita
re : Études de fonction et suite 02-01-21 à 17:28

rien de plus.
f(x) est le produit de nombre positif ou nul sur l'intervalle, soit f(x)0
- ce que confirme le tableau de variation.
ainsi Cf sur l'intervalle est au-dessus de son A.H., avec intersection en 0.

Posté par
Rasengan
re : Études de fonction et suite 02-01-21 à 17:37

Ah d'accord merci !

Donc pour la question suivante :
On s'intéresse à l'équation f(x)=0,5
On regarde si 0,5 est compris entre f(0) et f(1)
f(0)=0
f(1)=0,607

f est continue et strictement croissante sur [0;1]pourquoi pas [0;1[ étant donné qu'en 1 elle n'est pas croissants mais nulle
0,5 est compris entre f(0) et f(1)

On regarde maintenant si 0,5 est compris entre f(1) et
   lim  f(x)
x->+infini
je note comme ça ? Je n'ai pas dans mon cours de      cas avec +infini

f(1)=0,607
lim f(x)=0+
x->+infini

f est continue et strictement décroissante sur [1;+infini[
0,5 est compris entre f(1) et lim f(x)
                                                           x->+infini

Donc d'après la conséquence c'est bien d'après la conséquence ? du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f(x)=0,5 admet exactement deux solutions sur [0;+infini[

Posté par
carita
re : Études de fonction et suite 02-01-21 à 17:51

ne fais pas l'amalgame entre les 2 intervalles dans ta démo : la monotonie n'y est pas la même.
sur le tab. de variation, on repère 2 intervalles, et étudie sur chacun séparément.

1°)
* f est continue  [0;1]  
* f est strictement croissante sur [0;1]  
* f(0)=0 et f(1) = e^(-0.5) 0.61
  0<0.5<0.61   donc 0.5[f(0) ;f(1)]
* d'après le corollaire du TVI, l'équation f(x)=0.5 admet une solution unique sur  [0;1]  
* et on a   ...? (cf calculette, arrondi au millième)

à refaire pour l'autre intervalle

Posté par
carita
re : Études de fonction et suite 02-01-21 à 17:54

je fais une pause.
++

Posté par
Rasengan
re : Études de fonction et suite 02-01-21 à 17:55

Je ne comprend pas où j'ai eu faux... et je n'ai pas appris la phrase « d'après le corollaire du TVI » ça revient à dire d'après la conséquence ?

Posté par
Rasengan
re : Études de fonction et suite 02-01-21 à 20:58

Posté par
Rasengan
re : Études de fonction et suite 02-01-21 à 21:30

Je crois que je me suis trompé, ce n'est pas sur [0;+infini[ pour la question 1)d) mais sur l'ensemble R, c'est écrit dans la question donc ce n'est pas sur [0;+infini[ ?

Posté par
Rasengan
re : Études de fonction et suite 03-01-21 à 01:30

Ah non j'ai compris c'est parce que f(x) est décroissante sur [0;-infini[ donc inférieur à 0
Hani trouve alpha=0,598

Par contre je n'ai toujours pas compris l'erreur que j'ai fait

Voici la deuxième partie :
On calcule f(1) et lim f(x)
                                  x->+infini
f(1)=0,607
     lim f(x)=0+
  x->+infini

{f est continue et strictement décroissante sur [1;+infini[
{0,5 est compris entre f(-1) et lim f(x)
                                                            x->+infini
Donc d'après la conséquence du TVI, l'équation f(x)=0.5 admet une solution unique  sur  [1;+infini[

On a Bêta=1,467

Donc d'après la conséquence du TVI, l'équation f(x)=0,5 admet deux solutions sur [0;+infini[

Je continue les autres questions, j'espère que vous pourrez me corriger demain (enfin aujourd'hui)...

e)y= x ?

f) On calcule f''(x)

f''(x)= e-x^2/2(-x3-3x)  ?

Je ne sais pas comment faire avec le x au cube...

Posté par
carita
re : Études de fonction et suite 03-01-21 à 10:46

bonjour Rasengan
bonjour Yzz !

pour la 1d) j'ai l'impression que tu compliques inutilement.
j'ai insisté sur le fait que tu dois étudier séparément sur chacun des 2 intervalles,
tout simplement parce que les conditions d'application du TVI l'exigent.

ce que tu écrivais n'était pas forcément faux, mais c'était brouillon.

02-01-21 à 17:51, je t'ai montré les points à préciser pour pouvoir appliquer rigoureusement le TVI.
(il y a le TVI, et son corollaire; qu'as-tu dans le cours?)
Continuité et théorème des valeurs intermédiaires

---
ok pour le second intervalle et pour et

concernant "Donc d'après la conséquence du TVI"
à mon avis le mot "conséquence" est inutile.
le théorème est de structure "SI conditions ALORS déduction (= conséquence)"
écrire "d'après le théorème des valeurs intermédiaires" suffit.

mais je ne suis pas professeur,
si Yzz passe par là pour reprendre la main, il saura mieux te dire que moi.

---
concernant "d) montrer que l'équation f(x)=0,5 admet exactement 2 solutions sur R "
tu as confirmé que la fonction est impaire, et que les images sur [0;+inf[ sont positives.
ainsi sur ]-inf; 0] les images sont négatives, et f(x)=0.5 n'a pas de solution.
un coup d'oeil sur la courbe te rassurera.
Études de  fonction et suite

---
"Ah non j'ai compris c'est parce que f(x) est décroissante sur [0;-infini["
attention ceci est faux : à ton avis, sans calcul, qu'elle est la variation de f sur ]-inf;0] ?

je lis la suite

Posté par
carita
re : Études de fonction et suite 03-01-21 à 10:52

e)y= x   oui

f)   f''(x)= e-x^2/2(-x3-3x)  

une erreur de signe à retrouver
tu dois trouver   f''(x)= e-x^2/2(x3-3x)
puis tu factorises x pour te ramener à du second degré

ps : "f) Étudier la convexité de g "
--- c'est qui , g ?
la restriction de f sur R+ ?

Posté par
carita
re : Études de fonction et suite 03-01-21 à 10:59

pour la question 2) étude de suite
il y a des détails que je risque de ne pas maitriser sur certaines questions,
je préfère laisser la main à un professeur qui te guidera de main sûre.

si un intervenant est disponible... merci

Posté par
Rasengan
re : Études de fonction et suite 03-01-21 à 14:45

La variation de f sur ]0;-infini[ est croissante puis décroissante sans arrêt ? Mais en dessous de 0


Ah non désolé pour la f)  c'est f et non g, c'est une faute

f'´(x)=e-x^2/2(x(x^2-3))
On étudie la convexité de f sur [0;+infini[ ? Pourquoi ?

Je dois faire un tableau de signe avec chacune des valeurs ?

x^-3
x              |0           1      racinecarre(3)    +infini

e^-x^2/2|         +
x^2-3|    -    0     +
x           |0      +
f''(x)        |0   -  0     +  
f(x)         |     concave      convexe

Je me suis embrouillée dans la construction du tableau

Posté par
carita
re : Études de fonction et suite 03-01-21 à 15:12

Je dois faire un tableau de signe avec chacune des valeurs ?
pas obligé
en remarquant que f ''(x) = f(x)(x²-3), tu peux simplifier le tableau qui suit

ok concave puis convexe sur R+ : la dérivée seconde s'annule en 3 et change de signe.
déduis-en la convexité sur R- puisqu'il est demandé l'étude sur R

Posté par
Rasengan
re : Études de fonction et suite 03-01-21 à 15:14

Donc dans mon tableau je dois rajouté -infini ?

Posté par
Rasengan
re : Études de fonction et suite 03-01-21 à 15:17

Voici ce que j'ai fait pour les signes :

Études de  fonction et suite

Posté par
Rasengan
re : Études de fonction et suite 03-01-21 à 15:17

Sur [0;-infini[ c'est convexe puis concave car la fonction est impaire ?

Posté par
carita
re : Études de fonction et suite 03-01-21 à 15:19

par ex. comme ceci

\begin{array} {|c|cccccccccc|} x & -\infty & &-\sqrt3 & &0 & & \sqrt3 & & +\infty & \\\hline\\ {f(x)} & & - & & -& 0 & + & & + & & \\\hline\\ {x^2 - 3} & &? & 0 &?& & ? & 0& ? & & \\\hline\\ {f''(x)} & & ? & 0 & ? & 0 & - & 0 & + & & \\\hline\\ {f(x)} & & \text{?} & & \text{?} & & \text{concave} & & \text{convexe} & & \end{array}

Sur [0;-infini[ c'est convexe puis concave car la fonction est impaire ?
--- complète le tableau puis vérifie avec l'allure de la courbe

Posté par
carita
re : Études de fonction et suite 03-01-21 à 15:20

ton tableau de 15h17 ---- ok

Posté par
carita
re : Études de fonction et suite 03-01-21 à 15:22

[0;-infini[     plutôt ]-;0]

Posté par
Rasengan
re : Études de fonction et suite 03-01-21 à 15:23

-0+           -0+

+0-

Ah non donc c'est concave sur [0;-racine(3)] et convexe sur [racine(3);-infini[

Pourquoi il y a 2 - côte au côte sur la ligne f(x) ?
Et 2 signes côte  à côte sur la ligne x2-3
D'habitude ils sont toujours séparé par un 0 sur une meme ligne ?

Posté par
carita
re : Études de fonction et suite 03-01-21 à 15:29


Ah non donc c'est concave sur [0;-racine(3)] et convexe sur [racine(3);-infini[
ces intervalles n'ont aucun sens

Posté par
carita
re : Études de fonction et suite 03-01-21 à 15:30

Pourquoi il y a 2 - côte au côte sur la ligne f(x) ?
Et 2 signes côte  à côte sur la ligne x2-3

parce que la ligne des x définit 4 intervalles (donc 4 colonnes dans le tableau)
colonnes non matérialisées sur mon tableau
mais il faut un signe dans chacune pour chaque ligne
donc on duplique

Posté par
Rasengan
re : Études de fonction et suite 03-01-21 à 15:32

Ah d'accord merci
Et donc c'est bien concave sur [0;-racine(3)] et convexe sur [racine(3);-infini[  ?

Posté par
carita
re : Études de fonction et suite 03-01-21 à 15:33

15h29

Posté par
Rasengan
re : Études de fonction et suite 03-01-21 à 15:34

Pourquoi ?
[0;-racine(3)] et convexe sur [-racine(3);-infini[ ?

On note sous forme d'intervalle dans mon courd

Posté par
carita
re : Études de fonction et suite 03-01-21 à 15:39

oui, mais CES intervalles n'ont pas de sens

==> trace un axe orienté au brouillon
place dans le bon ordre :
le 0
les infinis
- et + sqrt(3)

puis regarde un peu les intervalles que tu as osé écrire

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