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Etudes de fonctions

Posté par
oreo27
25-01-17 à 13:33

Bonjour, j'ai un devoir maison à faire pour vendredi 27 mais je ne comprends pas toutes les questions, je n'arrive pas à les faire !

On considère la fonction f définie sur l'intervalle \left[0;+\infty \right] par :
                       f(x)=-x^{3}+6x²-30
1) Etudier les variations de la fonction f sur l'intervalle \left[0;+\infty \right]
                        Pour cette question, j'ai calculé la dérivée : f'(x)=-3x²+12x. Puis calculer \Delta = b²-4ac=12²-4*(-3)*0=144. Et j'ai trouvé x_{1}=4 et x_{2}=0. La fonction est décroissante sur \left[-\infty ;-30 \right], puis croissante sur \left[-30;2 \right] et enfin, décroissante sur \left[2;+\infty \right].

2) a) Démontrer que l'équation f(x)=0 admet une unique solution \alpha dans l'intervalle \left[0;4 \right].
                Pour cette question, je pense que je dois utiliser le théorème des valeurs intermédiaires mais je sais pas comment. Je sais juste que sur cet intervalle, la fonction est croissante.

2) b) Par raisonnement analogue, on démontrer qu'il existe un unique réel \beta de l'intervalle ]4;+\infty [ tel que f(\beta )=0. Déterminer l'entier n tel que n<\beta <n+1
                Je ne sais pas du tout comment faire.

3) L'algorithme :
                 Variables : a et b sont des nombres réels
                  Initialisations : Affecter à a la valeur 0
                                                    Affecter à b la valeur a+1
                  Traitement : Tant que f(a)*f(b)>0
                                                    Affecter à a la valeur b
                                                    Affecter à b la valeur a+1
                                               Fin Tant que
                    Sortie : Afficher a et b
J'ai programmé cet algorithme, j'ai comme résultats a=3 et b=4

3) a) Faire tourner cet algorithme et compléter le tableau :
              Dans ce tableau, je dois mettre la valeur de a et de b puis celle de f(a)*f(b) selon 4 étapes. Ils me donnent juste la valeur de a et b pour la première étape qui sont a=0 et b=1. Je ne sais pas comment le remplir car quand je change la valeur de a dans l'algorithme, ca me donne 3 et 4 à chaque fois sauf pour a=4, j'obtiens 4 et 5.

3) b) Que représentent les valeurs affichées par cet algorithme ?

3) c) Modifier cet algorithme afin qu'il affiche les deux bornes d'un encadrement de \beta d'amplitude 10^-^1.

Merci pour votre aider !

Posté par
hekla
re : Etudes de fonctions 25-01-17 à 13:48

Bonjour

la dérivée est correcte  mais pour quoi ne pas factoriser f'(x)=-3x(x-4) ce qui évite l'artillerie lourde

d'où sort le tableau de variation ? rappel la fonction n'est définie que sur \R_+

2a oui utilisation du tvi    il est nécessaire que la fonction soit strictement monotone

b toujours l'utilisation du tvi  ensuite un encadrement de \beta par deux entiers consécutifs

Posté par
oreo27
re : Etudes de fonctions 25-01-17 à 17:47

2) a) Sur \left[0;4 \right], f est strictement monotone et est continue car c'est une fonction polynome. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, \alpha est compris etre f(0) et f(4) et admet donc une unique solution.
\alpha =3.39 avec ma calculatrice.

     b) Sur ]4;+\infty [, f est décroissante et continue. D'après le TVI, \beta admet une unique solution car \beta =4.55 à la calculatrice.
4<\beta <5.

Posté par
StormTK9
re : Etudes de fonctions 25-01-17 à 18:02

Bonsoir,

oreo27 @ 25-01-2017 à 17:47

2)b) Sur ]4;+\infty [, f est strictement décroissante et continue (car dérivable en tant que fonction polynomiale). D'après le TVI, \beta admet une unique solution car \beta =4.55 à la calculatrice.
4<\beta <5.

Posté par
oreo27
re : Etudes de fonctions 25-01-17 à 18:10

D'accord et pour le 2)a), c'est bon ?

Posté par
hekla
re : Etudes de fonctions 25-01-17 à 18:11

sur [0~;~4],  f est une fonction dérivable et f'(x)>0 par conséquent f est strictement croissante sur [0 ~;~4]
f(0)f(4)<0 par conséquent il existe un unique \alpha \in[0~;~4] tel que f(\alpha)=0

on ne vous demande pas une valeur approchée  c'est l'objet des questions avec l'algorithme

vous oubliez de dire que 0 est élément de l'ensemble image   là on se ramène à un intervalle fermé  et la question précédente
ou  on a calculé la limite en +\infty  et on dit que 0\in ]-\infty~;~2]

Posté par
oreo27
re : Etudes de fonctions 25-01-17 à 18:27

A oui, j'ai oublié de faire la limite.

Pour la question 3) a) Je trouve pour l'étape 1, f(a)*f(b)=750
                                                                                   l'étape 2, f(a)*f(b)=350
                                                                                   l'étape 3, f(a)*f(b)=42
                                                                                   l'étape 4, f(a)*f(b)=-6 -> la boucle s'arrête ici car -6<0.

3) b) L'algorithme représentent les valeurs des bornes de l'encadrement de \alpha.

3) c) Je ne sais pas quoi modifier :/

Posté par
hekla
re : Etudes de fonctions 25-01-17 à 18:46

vous n'avez pas donné le tableau  est-ce bien nécessaire d'avoir la valeur de f(a)f(b) ?
en revanche il est indispensable de dire que la condition (>0) est vérifiée donc on continue

a  donne la borne inférieure  de l'encadrement

modification

   Variables : a et b sont des nombres réels
                  Initialisations : Affecter à a la valeur 4
                                                    Affecter à b la valeur a+0.1
                  Traitement : Tant que f(a)*f(b)>0
                                                    Affecter à a la valeur b
                                                    Affecter à b la valeur a+0,1
                                               Fin Tant que
                    Sortie : Afficher a et b

Posté par
oreo27
re : Etudes de fonctions 25-01-17 à 20:11

Pourquoi les bornes inférieures ?

Posté par
oreo27
re : Etudes de fonctions 25-01-17 à 20:14

Et oui, ils me demandent les valeurs de f(a)f(b)

Posté par
hekla
re : Etudes de fonctions 25-01-17 à 20:18

on part bien de a   l'autre valeur étant a+1 le plus petit des deux est bien a

Posté par
oreo27
re : Etudes de fonctions 25-01-17 à 20:31

Oui mais je ne parlais pas des bornes de a mais de \alpha

Posté par
hekla
re : Etudes de fonctions 26-01-17 à 10:44

a, b vous donnent un encadrement de \alpha
 a est bien la borne inférieure
on a bien  a<\alpha<b
je ne comprends pas votre remarque



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