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Études de fonctions ln

Posté par
Samsco 04-05-20 à 17:29

Bonjour j'ai besoin de votre aide svp

Exercice :

Étudier les fonctions  suivantes et tracer leurs courbes représentatives

a) xx-ln x

b) x (ln x)/x

c) x x.ln x

d) x 2.ln(x+1)-ln x

Reponses:

a) Étude de la fonction f: x-ln x

*Ensemble de définition

La fonction f est définie sur ]0 ; +[

*Dérivée et sens de variation
La fonction f est dérivable sur ]0 ; +[ et sa dérivée est la fonction f' : x1 - 1/x

f'(x)=0 x=1
\forall x\in ]0 ; 1[U]1 ;+[ , 1- 1/x <0 f'(x)<0
Donc f est décroissante sur ]0 ; +[.

*Étude aux bornes de l'ensemble de définition

_ On a: \lim_{x\to 0 \atop x>0} f(x)=+\infty donc la droite (OJ) est asymptote à la courbe représentative de la fonction f (Cf)

_On a: \lim_{x\to +\infty} f(x)=\lim_{x\to +\infty}x(1-\dfrac{\ln x}{x})=+\infty

*Tableau de variation
\begin{array} {|c|cc|} x & 0~~~~~~~~~1~~+\infty  & \\ \\ {signe}&-~~0~~-&\\ \\ {variation} & decroit &  decroit \end{array}

Posté par
malou Webmasterre : Études de fonctions ln 04-05-20 à 17:36

bonjour
pour les variations : \nearrow & & \searrow donnent \nearrow & & \searrow
exemple : (clique sur le code source, tableau fait avec l'éditeur Ltx disponible sous ton message)
\begin{array} {|c|cccccccc|} x & -\infty & & 4 & & 6 & & +\infty & \\ {signe} & & - & 0 & + & 0 & - & & \\ {variation} & & \searrow & & \nearrow & & \searrow & & \end{array}

Posté par
malou Webmasterre : Études de fonctions ln 04-05-20 à 17:50

montre la démonstration de ton signe de dérivée
là tu affirmes, cela n'a pas de valeur...

Posté par
Samscore : Études de fonctions ln 04-05-20 à 18:01

Ah OK ,merci !

\begin{array} {|c|cccccccc|} x & 0 && 4 & & +\infty & \\ {signe} & & - & 0 & + & & \\ {variation} & & \searrow & & \nearrow & & \end{array}

Il n'y a pas de "& " avec le tableau fait par l'éditeur Ltx

Posté par
Samscore : Études de fonctions ln 04-05-20 à 18:04

malou @ 04-05-2020 à 17:50

montre la démonstration de ton signe de dérivée
là tu affirmes, cela n'a pas de valeur...


Signe de la dérivée :

\forall x\in ]0 ;+\infty[ , x>0 \iff 1/x>0 \iff -1/x<0
1>0 donc le signe de 1- 1/x est le signe de -1/x
En conclusion , f'(x)<0

Posté par
malou Webmasterre : Études de fonctions ln 04-05-20 à 18:05

cela est faux
résous 1-1/x > 0

Posté par
Samscore : Études de fonctions ln 04-05-20 à 18:09

1-1/x >0 <=> 1 > 1/x <=> 1/x <1 <=> x>1

Posté par
Samscore : Études de fonctions ln 04-05-20 à 18:13

Non plutôt x\in ]-\infty ; 0[U]1 ;+\infty[

Posté par
malou Webmasterre : Études de fonctions ln 04-05-20 à 18:17

tu dis et te contredis plusieurs fois depuis le début...
tu dois rester dans ton ensemble de définition
prépare sérieusement ton travail au brouillon, va au bout, contrôle tes résultats en traçant ta courbe avec geogebra par exemple, et vois s'il y a des incohérences

Posté par
Samscore : Études de fonctions ln 04-05-20 à 19:08

J'ai vérifié  x\in ]-\infty ; 0[\cup]1 ;+\infty[

Posté par
Priamre : Études de fonctions ln 04-05-20 à 19:51

Tu as écrit au début " La fonction  f  est définie sur ]0; + oo[ " . . .

Posté par
Samscore : Études de fonctions ln 04-05-20 à 22:08

Priam @ 04-05-2020 à 19:51

Tu as écrit au début " La fonction  f  est définie sur ]0; + oo[ " . . .

Ok

\forall x\in ]0 ;+\infty[ ,~ 1-\dfrac{1}{x}>0~\iff x\in ]1;+\infty[ \\

\forall x\in ]0 ;+\infty[ ,~ 1-\dfrac{1}{x}<0 \iff x\in ]0 ; 1[

Posté par
malou Webmasterre : Études de fonctions ln 05-05-20 à 07:39

bonjour
mais comment démontres-tu ces équivalences ? parce que là, cela ressemble toujours à des affirmations ....sur une copie, le cheminement doit être visible

Posté par
Samscore : Études de fonctions ln 05-05-20 à 08:03

\forall , x\in]0 ;+\infty[, 1-\dfrac{1}{x}>0 \iff \dfrac{x-1}{x}>0

À partir de là ,j'ai fait un tableau

Études de fonctions ln

Posté par
Yzzre : Études de fonctions ln 05-05-20 à 08:09

Salut,

Correct ; tu pouvais aussi dire que sur ]0 ; +oo[ , (x-1)/x était du signe de x-1 (car x > 0)

Posté par
Samscore : Études de fonctions ln 05-05-20 à 08:39

OK , je reprend

a) Étude de la fonction f: x-ln x

*Ensemble de définition

La fonction f est définie sur ]0 ; +[

*Dérivée et sens de variation
La fonction f est dérivable sur ]0 ; +[ et sa dérivée est la fonction f' : x1 - 1/x

f'(x)=0 x=1

\forall x\in ]0 ;+\infty[ , 1-\dfrac{1}{x}=\dfrac{x-1}{x}
Comme x>0 alors le signe de (x-1)/x est celui de x-1.

\forall x\in ]1 ;+\infty[ , x-1>0 \iff \dfrac{x-1}{x}>0\iff f'(x)>0 \\ \\ \forall x \in ]0 ;1[ , x-1<0 \iff \dfrac{x-1}{x}<0 \iff f'(x)<0

Donc la fonction f est croissante sur ]1 ; +[ et est décroissante sur ]0 ; 1[

*Étude aux bornes de l'ensemble de définition

_ On a: \lim_{x\to 0 \atop x>0} f(x)=+\infty donc la droite (OJ) est asymptote à la courbe représentative de la fonction f (Cf)

_On a: \lim_{x\to +\infty} f(x)=\lim_{x\to +\infty}x(1-\dfrac{\ln x}{x})=+\infty

*Tableau de variation

\begin{array} {|c|cccccccc|} x & 0 && 1 & & +\infty & \\ {signe} & & - & 0 & + & & \\ {variation} & & \searrow & & \nearrow & & \end{array}

Posté par
malou Webmasterre : Études de fonctions ln 05-05-20 à 08:55

ben voilà ce qu'on attend de toi, un travail complet d'un bloc, le tout démontré et cohérent
tu ajouteras dans ton tableau les deux limites ainsi que l'image de 1 par la fonction

Posté par
Samscore : Études de fonctions ln 05-05-20 à 09:32

D'accord;)

Posté par
Samscore : Études de fonctions ln 05-05-20 à 09:38

Maintenant est ce qu'il y a une technique pour pouvoir bien représenter les courbe de fonctions ln  ? Parce que là ,je me rend compte que :
Pour x=1 , f(x)=1
Pour x=2 , f(x)≈1,30
Pour x=3 , f(x)≈1,90
Pour x=4 , f(x)=2,61.....
Ces points sont difficiles à placer

Posté par
malou Webmasterre : Études de fonctions ln 05-05-20 à 09:47

tu peux t'aider de ta calculatrice (ou de geogebra) pour avoir l'allure générale

Posté par
Samscore : Études de fonctions ln 05-05-20 à 10:23

malou @ 05-05-2020 à 09:47

tu peux t'aider de ta calculatrice (ou de geogebra) pour avoir l'allure générale

D'accord je continue

Posté par
Samscore : Études de fonctions ln 05-05-20 à 11:15

b) Étude de la fonction f: x (ln x)/x

* Ensemble de définition

La fonction f est définie sur ]0 ; +[

*Dérivée et sens de variation

La fonction est f est dérivable sur ]0 ; +[ et sa dérivée est la fonction f' définie par :

f'(x)=\rm{(\dfrac{\ln x}{x})'=\dfrac{(\ln x)'x-x'.\ln x}{x²}=\dfrac{1-\ln x}{x}}

_On a : \forall x>0 , f'(x)=0 \iff (1-\ln x)/x=0 \iff x=e

_f'(x)=(1-\ln x)/x , Comme x>0 , alors le signe de (1-ln x)/x est celui de 1-lnx.

\forall x>0 , (1-\ln x)/x > 0 \iff 1-\ln x >0 \iff 0<x<e
\forall x\in ]0 ; e[ , f'(x)>0

_ \forall x>0 , (1-\ln x)/x <0 \iff 1-\ln x<0 \iff x>e
\forall x\in ]e ; +\infty[ , f'(x)>0

Donc la fonction f est croissante sur ]0 ; e[ et décroissante sur ]e ; +[

*Étude aux bornes de l'ensemble de définition.

_ Posons u=1/x , f(x)=\dfrac{\ln x}{x}=\dfrac{\ln(1/u)}{1/u} \\ donc~\lim_{x\to 0 \atop x>0}f(x)=\lim_{x\to +\infty}\dfrac{\ln (1/u)}{1/u}=0 \\ \\ _\lim_{x\to +\infty}f(x)=\lim_{x\to +\infty}(\ln x)/x =0

*Tableau de variation

\begin{array} {|c|cccccccc|} x & 0 && e & & +\infty & \\ {signe} & & + & 0 & - & & \\ {variation} & & \nearrow & & \searrow & & \end{array}

Posté par
heklare : Études de fonctions ln 05-05-20 à 11:30

Bonjour

Où est passé le carré du dénominateur de la dérivée  ?  Cela ne change pas grand-chose puisque x est strictement positif.

On vous a déjà dit qu'une seule inéquation était suffisante
ou vous résolvez 1-\ln x>0  ou 1-\ln x<0 résoudre les 2 est redondant.

La limite en 0 est fausse  et pourquoi  ces calculs ?  le numérateur tend vers -\infty   1/x  vers +\infty  donc le produit vers -\infty

Posté par
malou Webmasterre : Études de fonctions ln 05-05-20 à 11:32

merci d'avoir pris le relais hekla , je vous laisse...

Posté par
Samscore : Études de fonctions ln 05-05-20 à 11:56

_Pour le x² au dénominateur je l'es oublié (j'ai tout fait directement au clavier)

_Pour la résolution de 1- ln x>0 et 1-lnx<0 , je ne savais que ce n'était pas la peine de résoudre les 2

_Pour la limite je croyais que la forme " /" était indéterminée

Posté par
malou Webmasterre : Études de fonctions ln 05-05-20 à 11:58

Citation :
(j'ai tout fait directement au clavier)

c'est exactement ce que je te reproche
fais au brouillon avant !! jusqu'au bout !

Posté par
Samscore : Études de fonctions ln 05-05-20 à 12:06

malou @ 05-05-2020 à 11:58

Citation :
(j'ai tout fait directement au clavier)

c'est exactement ce que je te reproche
fais au brouillon avant !! jusqu'au bout !

OK .

Posté par
heklare : Études de fonctions ln 05-05-20 à 12:12

\dfrac{\infty}{\infty} est bien une forme « indéterminée »  mais ce n'est pas ce que vous aviez  c'était \dfrac{\infty}{0}
  ce qui revient à \infty \times \infty qui n'est évidemment pas indéterminé

Posté par
Samscore : Études de fonctions ln 05-05-20 à 12:18

Voilà , j'ai rectifié

b) Étude de la fonction f: x (ln x)/x

* Ensemble de définition

La fonction f est définie sur ]0 ; +[

*Dérivée et sens de variation

La fonction est f est dérivable sur ]0 ; +[ et sa dérivée est la fonction f' définie par :

f'(x)=\rm{(\dfrac{\ln x}{x})'=\dfrac{(\ln x)'x-x'.\ln x}{x²}=\dfrac{1-\ln x}{x²}}

_On a : \forall x>0 , f'(x)=0 \iff (1-\ln x)/x²=0 \iff x=e

_f'(x)=(1-\ln x)/x² , Comme x>0 , alors le signe de (1-ln x)/x² est celui de 1-lnx.

\forall x>0 , (1-\ln x)/x² > 0 \iff 1-\ln x >0 \iff 0<x<e
\forall x\in ]0 ; e[ , f'(x)>0

_\forall x\in ]e ; +\infty[ , f'(x)<0

Donc la fonction f est croissante sur ]0 ; e[ et décroissante sur ]e ; +[

*Étude aux bornes de l'ensemble de définition.

_f(x)=\dfrac{\ln x}{x}=\dfrac{1}{x}*\ln x \\ donc~\lim_{x\to 0 \atop x>0}f(x)=-\infty \\ \\ _\lim_{x\to +\infty}f(x)=\lim_{x\to +\infty}(\ln x)/x =0

*Tableau de variation

\begin{array} {|c|cccccccc|} x & 0 && e & & +\infty & \\ {signe} & & + & 0 & - & & \\ {variation} & & \nearrow & & \searrow & & \end{array}

Posté par
heklare : Études de fonctions ln 05-05-20 à 12:33

Dans le tableau  Double barre en 0  et les limites sont absentes

Évitez cette écriture pour la dérivée.

f est de la forme \dfrac{u}{v} où u(x)=\ln x et v(x)=x

On a donc u'(x)=\dfrac{1}{x} et v'(x)=1

\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-v'u}{v^2}  d'où

f'(x)= \dfrac{\frac{1}{x}\times x- 1\times  \ln x}{x^2}=\dfrac{1-\ln x}{x^2}

Remarques sur LaTeX

Si vous commencez par _  tout ce qui suit est dans la police de l'indice  ce qui est parfois petit

Puisque vous avez commencé en LaTeX il y a suffisamment de symboles pour ne pas revenir à \Pi

l'infini s'écrit \infty

Posté par
Samscore : Études de fonctions ln 05-05-20 à 12:57

Avec le latex ,on peut pas mettre la double barre et les limites

Et quelle écriture dois je éviter pour la dérivée ?

Posté par
Samscore : Études de fonctions ln 05-05-20 à 12:57

Avec le latex ,on peut pas mettre la double barre et les limites

Et quelle écriture dois je éviter pour la dérivée ?

Posté par
heklare : Études de fonctions ln 05-05-20 à 13:18

On peut mettre |  altgr  6  ou \vert  ou dites que vous n'allez pas les oublier

x'  (\ln) '  

On peut passer à c) maintenant

Posté par
Samscore : Études de fonctions ln 05-05-20 à 20:41

Je n'es pas écrit x' (\ln)' .

c) Étude de la fonction f: x\to x.\ln x

*Ensemble de définition

La fonction f est définie sur ]0 ; +\infty[

*Dérivée et sens de variation

La fonction f est dérivable sur ]0 ; +\infty[ et sa dérivée est la fonction f' définie par :

\forall x>0 , f'(x)=x'.\ln x+x(\ln x)'=\ln x+1

_On a : f'(x)=0\iff x=1/e

_ \forall x>0 , \ln x+1>0 \iff x>1/e
donc \forall x\in ]1/e ; +\infty[ , f'(x)>0~et~\forall x\in ]0 ; 1/e[ , f'(x)<0

* Étude aux bornes de l'ensemble de définition.

_ \lim_{x\to 0 \atop x>0}f(x)=\lim_{x\to 0 \atop x>0}(x.\ln x)=0

_\lim_{x\to +\infty}f(x)=\lim_{x\to +\infty}(x.\ln x)=+\infty

* Tableau de variation

\begin{array} {|c|cccccccc|} x & 0 && 1/e & & +\infty & \\ {signe} & & - & 0 & + & & \\ {variation} & & \searrow & & \nearrow & & \end{array}

Posté par
Yzzre : Études de fonctions ln 05-05-20 à 20:44

Correct ; reste à calculer la valeur du minimum

Posté par
heklare : Études de fonctions ln 05-05-20 à 21:00

Citation :
f'(x)=\rm{(\dfrac{\ln x}{x})'=\dfrac{(\ln x)'x-x'.\ln x}{x²}=\dfrac{1-\ln x}{x}}

C'est bien des « ' » un peu partout,  non ?

Posté par
Samscore : Études de fonctions ln 05-05-20 à 21:22

Ah ,je ne dois pas les mettre dans la résolution ,OK
Voici le tableau au complet

Études de fonctions ln

Posté par
heklare : Études de fonctions ln 05-05-20 à 21:28

\ln \frac{1}{\text{e}}=\ln\text{e}^{-1} =

Posté par
Samscore : Études de fonctions ln 05-05-20 à 21:29

hekla @ 05-05-2020 à 21:28

\ln \frac{1}{\text{e}}=\ln\text{e}^{-1} =

Oui c'est vrai ,c'est plus simple

Posté par
heklare : Études de fonctions ln 05-05-20 à 21:33

Surtout que vous l'aviez écrit pour résoudre \ln x +1=0

Posté par
Samscore : Études de fonctions ln 05-05-20 à 23:02

d) Étude de la fonction f:~x\to 2.\ln(x+1)-\ln x

* Ensemble de définition

Contraintes sur l'inconnue :
x+1>0~et~x>0 \\ \iff x>-1~et~x>0 \\ \iff x\in ]0~;~+\infty[
La fonction f est définie sur ]0~;~+\infty[

* Dérivée et sens de variation

La fonction f est dérivable sur ]0~;~+\infty[ et sa dérivée est la fonction f' définie par:

\forall x>0~, f'(x)=\dfrac{2}{x+1}-\dfrac{1}{x}=\dfrac{2x-x-1}{x(x+1)}=\dfrac{x-1}{x(x+1)}

_\forall x>0 ,~x+1>0 \iff x(x+1)>0
Comme x(x+1)>0 alors le signe de (x-1)/[x(x+1)] est celui de x-1

_\forall x>0 ,~\dfrac{x-1}{x(x+1)}>0 \iff x-1>0 \iff x>1
\forall x \in ]1~;~+\infty[,~f'(x)>0 \\ \\ \forall x \in ]0~;~1[,~f'(x)<0

* Étude aux bornes de l'ensemble de définition

\Large f(x)=2.\ln(x+1)-\ln x=2.\ln(x+1)+\ln(1/x) \\
Posons X=1/x
f(X)=2.\ln(\dfrac{1}{X}+1)+\ln X

\lim_{X\to+\infty}[2\ln(\dfrac{1}{X}+1)]+\ln X=+\infty
donc \lim_{x\to 0 \atop x>0}f(x)=+\infty

\Large f(x)=2\ln(x+1)-\ln x=2\ln x+2\ln(1+\dfrac{1}{x})-\ln x=\ln x+2\ln(1+\dfrac{1}{x})
donc \lim_{x\to +\infty}f(x)=\lim_{x\to +\infty}(\ln x+2.\ln(1+\dfrac{1}{x}))=+\infty

Posté par
heklare : Études de fonctions ln 05-05-20 à 23:21

D'accord jusqu'aux limites  Pourquoi faire si compliqué ?

2\ln (x+1)-\ln x=\ln(x+1)^2-\ln x= \ln \dfrac{(x+1)^2}{x}

en +\infty  :+\infty   et en 0 ; +\infty

Posté par
Samscore : Études de fonctions ln 06-05-20 à 00:07

hekla @ 05-05-2020 à 23:21

D'accord jusqu'aux limites  Pourquoi faire si compliqué ?

2\ln (x+1)-\ln x=\ln(x+1)^2-\ln x= \ln \dfrac{(x+1)^2}{x}

en +\infty  :+\infty   et en 0 ; +\infty

Ça m'es pas venu à l'esprit

Posté par
Samscore : Études de fonctions ln 06-05-20 à 00:26

Tableau de variation

Études de fonctions ln

Posté par
Yzzre : Études de fonctions ln 06-05-20 à 06:22

Tiens ! le minimum a changé ...

Posté par
Samscore : Études de fonctions ln 06-05-20 à 12:47

f(x)=2ln(x+1)-ln x
Le minimum est f(1)
f(1)=2ln(1+1)-ln 1
f(1)=2ln(2)
C'est ce que j'ai ecrit

Posté par
heklare : Études de fonctions ln 06-05-20 à 12:47

Voilà le bouquet des courbes

Études de fonctions ln

Posté par
Samscore : Études de fonctions ln 06-05-20 à 12:47

f(1)=ln(4)

Posté par
heklare : Études de fonctions ln 06-05-20 à 12:52

\ln 4=\ln 2^2=2\ln 2   Cela ne change rien Il vaut mieux 2 \ln 2

Posté par
Samscore : Études de fonctions ln 06-05-20 à 12:54

Ah je vois

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