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Études de suites
Bonjour à tous !
L'énoncé est le suivant:
On considère deux suites Un et Vn
Tel que Un+1=1/2(Un+Vn) et Vn+1=sqrt(UnVn)
Montrer que les deux suites sont monotones à partir de n>=1 et adjacentes.
Je montre que Un est monotones et me lance pour dire qu'elle décroît
Un+1
Un
Un+1-Un0
1/2(Un+Vn)-1/2(Un-1+Vn-1)0
(Un-1 c'est à dire un terme avant le rang n je n'arrive pas à le faire sur le forum désolée ce n'est pas du tout Un soustrait par l'entier 1).
Et puis je n'avance plus. J'attend votre aide avec impatience merci d'avance
Bonsoir Kazama93 !
La première chose à faire c'est de savoir si les suites sont définies :
montre, par récurrence que les termes sont positifs.
Puisque l'énoncé ne dit pas quelle est la suite croissante, il est plus simple de travailler en ne mettant pas d'a priori.
Donc, tu étudies le signe de et tu t'aperçois qu'il faut étudier le signe de
.
Or et tu reconnais un carré (identité remarquable).
Je te laisse finir.
Alors j'ai réussi à montrer que les deux sont monotones mais de sens opposé Un decroissante et Vn croissante mais pour montrer qu'elles sont adjacentes c'est compliquer 
alors il faut montrer que l'an limite en Un-Vn tend vers 0 en infini mais je ne vois pas comment
Bonjour
tu as déjà montré que celle qui "monte" a tous ses termes inférieurs aux termes de même rang de celle qui "descend"
du coup, tu as une majoration de celle qui croit par le premier terme de celle qui décroit : elle converge
tu as aussi une minoration de celle qui décroit par le premier terme de celle qui croit : elle converge aussi
Si tu appelles et
leurs limites, quelles égalités ces limites vérifient-elles ? conclusion ?
Je pense qu'il faut utiliser la relation pour majorer, par récurrence,
en remarquant que
et
.
La majoration fait apparaître une suite géométrique de raison
Erreur pour la raison, plutôt quelque chose du genre
Mais l'information de lafol (bonsoir !) est plus facile à utiliser !
Bonsoir lafol
Alors du coup on aurait Vn<U0
Et Un>V0 mais comme Un décroît on a V0<Un<U0 et comme Vn croit on a V0<Vn<U0 alors on a lim de Un=V0 et lim Vn=U0 je m'en mêle les pinceau on dirait 
depuis quand 1/n tend vers -2 ? pourtant on a bien : pour tout n entier naturel non nul, -2 < 1/n ...
@Kazama93
Tu confonds minorant et borne inférieure !
La suite converge vers une limite
et
.
La suite converge vers une limite
et
.
Ecris les relations vérifiées par et tu auras le résultat.
On doit arriver à lim Un-Vn=0 en infini
Ce que je vois c'est que A (limite de Un) est compris entre V0 et U0 et pareil pour B mais je n'arrive pas à conclure.
Je remarque aussi que lim Un=inf Un et lim Vn=sup Vn
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