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Etudier des fonctions

Posté par
justbinet
28-12-22 à 18:34

Bonjour à tous et à toutes,
J'aurai besoin d'aide afin de comprendre et réussir au mieux un exercice. Voici l'énoncé et mes recherches pour chacune des questions:
f est la fonction définie sur [-1;+[ par:
f(x)=1+xln(x+2)
C est la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O;;).
1. Etude de variations de la dérivée f'
a. f' désigne la fonction dérivée première de f et f" l foction dérivée seconde.
Calculer f'(x), puis f"(x) pour tout réel x-1.
. xln(x+2) prend la forme u*v avec u=x et v=ln(x+2)
on sait que la dérivée est donc u'v+uv' avec u'=1 et v'=1/(x+2)
on a donc 1*ln(x+2)+x*(1/(x+2))=ln(x+2)+(1x/(x+2))
donc f'(x)=ln(x+2)+(1x/(x+2))
. -on remarque que (1x/(x+2)) prend la forme u/v avec u=x et v=x+2
la dérivée prend donc la forme (u'v-uv')/(v2) avec u'=1 et v'=1
on a donc (1*(x+2)-x*1)/((x+2)2)=2/((x+2)2)
- la dérivée de ln(x+2) est 1/(x+2)
- f"(x)= 1/(x+2)+2/((x+2)2)=(x+4)/((x+2)2)

b. Etudier les variations de f' sur l'intervalle [-1;+[.
On remarque que le signe de f"(x) est positif sur l'intervalle [-1;+[. On en déduis donc que f'(x) est croissante
c. Déterminer la limite de f' en +
je ne suis pas du tout sur de ce que j'ai pu trouver à cette question
lorsque x tend vers +:
lim ln(x+2)=+
lim x/(x+2)=FI (+/+=FI)
J'ai donc essayé de factoriser x/(x+2):
x/(x+2)= x/(x(1+(2/x)))=1/(1+(2/x))
lim 1/(1+(2/x))=1
Donc lim f'(x)=+

2. Etude du signe de f'(x)
a. Montrer que dans l'intervalle [-1;+[, l'équation f'(x)=0 admet une solution unique appartenant à l'intervalle ]-0.6;-0.5[.
On a pu remarquer précédemment que f'(x) est strictement monotone et lorsque l'on observe sa représentation graphique on peu voir que cette dernière est continue. De plus on peut constater que f'(x)=0 est bien compris dans l'intervalle  ]-0.6;-0.5[. En effet f'(-0.6)-0.09 et f'(-0.5)0.07. -0.09<0<0.07. Donc f'(-0.6)<f'(x)=0<f'(-0.5). se situe donc bien dans l'intervalle ]-0.6;-0.5[.   D'après le corollaire du TVI: si la fonction f est continue et strictement monotone sur [a;b], et si le réel L est compris entre f(a) et f(b), alors l'équation f(x)=L n'admet qu'une seule solution dans l'intervalle [a;b]. On constate que c'est bien le cas de f'(x). Donc on peut affirmer que f'(x)=0 admet une solution unique appartenant à l'intervalle ]-0.6;-0.5[.
b. En déduire le signe de f'(x) selon la valeur de x.
A partir de la question précédente ou peut déduire que:
Si x-0.5 alors le signe de f'(x) sera positif.
Si x-0.6 alors le signe de f'(x) sera négatif

3. Etude des variations de f
a. Etudier la variation de f sur l'intervalle [-1;+[.
On sait que si la dérivée d'une fonction est positive alors la fonction est croissante et si sa dérivée est négative alors elle sera décroissante. On a pu constater que Si x-0.5 alors le signe de f'(x) sera positif. Et si x-0.6 alors le signe de f'(x) sera négatif. Donc lorsque f'(x) est négative f(x) sera décroissante (donc dans l'intervalle [-1;-0.6]) soit si x -0.6 et lorsque f'(x) est positive f(x) sera croissante(donc dans l'intervalle [-0.5;+[) soit si x-0.5
b. Déterminer la limite de f en +.
On rappelle que f(x)=1+ln(x+2)
lorsque x tend vers +:
lim 1=1
lim x=+
lim ln(x+2)=+
lim f(x)=+

c. dresser le tableau de variations de f
(voir pdf rattaché)
Pourriez-vous m'aider à comprendre afin que je puisse finaliser mon exercice et corriger mes erreurs. En vous remerciant d'avance pour votre aide et pour le temps que vous m'accorderez. En vous souhaitant une agréable soirée.

Etudier des fonctions

Posté par
hekla
re : Etudier des fonctions 28-12-22 à 19:19

Bonsoir
d'accord pour f''(x)=\dfrac{x+4}{(x+2)^2}

donc sur [-1{,}+\infty[ ,\  f'' >0

\lim_{x\to +\infty} \ln(x+2) +\dfrac{x}{x+2}=+\infty

f'(-1)=-1  f(0)=\ln 2

fonction dérivable strictement croissante sur [-1{,}0[ il existe un \alpha  de cet intervalle tel que f'(x)=0

Posté par
hekla
re : Etudier des fonctions 28-12-22 à 19:21

lire f'(\alpha)=0

Dans le tableau on ne doit pas avoir un intervalle, mais la valeur \alpha dont on connaît un encadrement.

Posté par
hekla
re : Etudier des fonctions 28-12-22 à 19:32

Sur [-1{,}\alpha] \ f'(x) <0 et sur [\alpha{,}0]\ f'(x) >0
Variation de f

f est décroissante sur [-1 ; \alpha ] et croissante sur [\alpha ~;~+\infty[

\lim_{x\to +\infty} f(x)=+\infty

Etudier des fonctions

Posté par
justbinet
re : Etudier des fonctions 29-12-22 à 10:47

Bonjour,
merci beaucoup pour toutes vos réponses.

hekla @ 28-12-2022 à 19:32

Sur [-1{,}\alpha] \ f'(x) <0 et sur [\alpha{,}0]\ f'(x) >0
Variation de f

f est décroissante sur [-1 ; \alpha ] et croissante sur [\alpha ~;~+\infty[

\lim_{x\to +\infty} f(x)=+\infty

Etudier des fonctions

Je dois donc remplacer le ? par f()

Posté par
hekla
re : Etudier des fonctions 29-12-22 à 13:18

Bonjour

Je vous ai laissé le calcul de f(\alpha)

Vous pouvez l'écrire sans les  \ln

Il est bien entendu que je n'avais écrit que quelques résultats pour confirmer ou infirmer ce que vous aviez écrit

Posté par
justbinet
re : Etudier des fonctions 29-12-22 à 15:45

Bonjour;
très bien merci de m'avoir aidé à comprendre l'exercice et mes erreurs. Et merci de m'avoir consacré une partie de votre temps.
Je vous souhaite une bonne fin de journée.

Posté par
hekla
re : Etudier des fonctions 29-12-22 à 16:11

Que trouvez-vous pour f(\alpha) ?

J'ai 1-\dfrac{\alpha^2}{\alpha+2}

De rien

Bonne journée



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