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Etudier la position relative de trois droites.
Dans un repère orthonormé (O;i,j) on donne les points A(−1;−1), B(−1; 0) et C(0;−1). C est la courbe d'équation
y =1/x. M est un point quelconque. M se projette orthogonalement en P sur l'axe des abscisses et en Q sur l'axe des
ordonnées. On souhaite étudier la position relative des droites (BQ), (AM) et (CP) suivant la position du point M.
Démontrons
Notons (a; b) les coordonnées du point M.
(a) 1. Exprimer les coordonnées des vecteurs AM, BQ et CP en fonction de a et b.
2. Démontrer que ces vecteurs sont colinéaires si, et seulement si, ab = 1.
3. Que dire alors des droites (AM), (BQ) et (CP) lorsque M est un point de C ?
(b) On suppose dans cette question que ab n'est pas egale à 1 (donc M n'appartient pas à C).
1. Démontrer que la droite (BQ) a pour équation bx − y + b = 0.
2. Déterminer une équation de la droite (CP).
3. Exprimer en fonction de a et b les coordonnées du point N intersection des droites (CP) et (BQ).
4. Vérifier que A, N et M sont alignés.
Je suis bloqué à la question b4, car démontrer que des points sont alignés reviens à prouver que les vecteurs AN et AM sont colinéaires, sauf que je me retrouve avec une equation cartesienne car AM à pour coordonnées (a+1,b+1)
Merci de votre aide 
si tu as les coordonnées des deux vecteurs en fonction de a et b,
il suffit d'appliquer la formule habituelle.
C'est ce que j'ai fait, enfin je pense, car lorsque je fais la formule habituelle je me retrouve avec une equation cartesienne donc comment puis demontrer que les points sont alignés ?
voici la formule que j'ai trouvé: -0.71a + 0.43b -0.28 =0
J'ai recommencé le petit B mais au final je suis bloqué, je n'arrive plus a avancer, je ne trouve pas le point N, j'ai pourtant essayé plusieurs solution mais rien de fonctionne..
Voilà la figure:
Pour trouvé N j'ai fait un système d'equation
La droite (BQ)à pour equation 2x-y+2=0
La droite (CP) à pour equation x-2y-2=0
il ne faut pas donner de valeurs aux coordonnées de M.
M(a;b) P(a;0) Q(0,b)
Reprends la question a/1/ avec ces coordonnées.
bonjour
alb12 : on a montré que et
sont colinéaires si ab=1
donc si M appartient à C on a b=1/a
donc a.1/a est tjs =1
les 3 vecteurs sont colinéaires 
M
C
c'est bien ça?
merci
Démontrer que la droite (BQ) a pour équation bx − y + b = 0.
j'ai déterminé un vecteur directeur de
et donc (BQ) a pour équation -2x-2y+c=0
ça ne semble pas juste!
ok donc je trouve a=b
la pente = l'ordonnée à l'origine c'est ça?
donc je peux écrire ax-y+a=0
ou comme demandé bx-y+b=0
avec la méthode du vecteur directeur on ne trouve pas la valeur de la constante c?
du ax+by+c=0?
pourquoi faire des détours ? (moins on en écrit, moins on a de chance de se tromper !! 
)
on te demande une équation de (BQ) et je vois que je connais les coordonnées et de B et de Q
donc le coefficient directeur de (BQ) est b (tu te souviens de ça ou pas ??)
donc une équation de (BQ) s'écrit : y=bx+p avec p réel
j'utilise le fait que B appartient à cette droite
0=-b+p d'où p=b
une équation de (BQ) s'écrit : y=bx+b
oui c'est bon.
j'ai fait avec la méthode du coefficient directeur (calcul de la pente) et avec le vecteur directeur.
je continue...
j'ai trouvé que l'équation réduite de (CP) est
j'ai montré que (CQ) et (BP) ne sont pas colinéaires si ab
1
donc (CP) et (BQ) sont sécantes.
pour trouver l'intersection de 2 droites j'ai l'habitude de résoudre
ax+b=a'x+b'
ce qui oblige à revenir à l'équation réduite.
on peut aussi trouver les coordonnées de N à partir des 2 équations cartésiennes...
c'est quoi le mieux?
non en fait je confirme mon équation de (CP)
si tu me dis que c'est juste je poste mes réponses pour les coordonnées de N.
xN=
strange?
please
j'ai tout repris:
dans le cas oú ab1
Equation de (BQ) : bx-y+b=0
Equation de (CP) : x-y-1=0
donc a=1 et -b=a
ensuite j'utilise que C appartient à (CP)
juste?
merci
bonjour
ton équation de (CP) n'est pas juste;..elle doit dépendre de a puisque le point P a pour coordonnées P(a;0)
ton vecteur directeur CP est juste
pour trouver l'intersection N j'ai résolu x-y-1=bx-y+b
j'ai trouvé
quelqu'1 peut me dire si c'est juste?
c'est pour demain merci
je te donne les résultats qui te permettront de te vérifier en allant
(CP) : x-ay-a=0
point quand même
et ensuite tu évalues les vecteurs AN et AM (aucune difficulté)
j'ai enfin trouvé la bonne abscisse du point N en isolant y dans chacune des équations de (BQ) et (CP)
ça m'a donné
y a t'il 1 autre méthode meilleure?
merci de nous consacrer du temps
au niveau rédaction, il serait bien de ne pas diviser par a, par b...car il va falloir discuter à chaque fois
(personnellement j'ai isolé x dans l'équation de (CP) , j'ai reporté dans l'autre, et ai mis y en facteur)
arrange toi pour trouver une rédaction où tu divises uniquement par ba-1 (et ça on sait qu'il n'est pas nul)
et qu'est ce qu'on prouve avec ces satanés calculs?
une propriété de la fonction 1/x?
on n'explique pas d'ou sortent ces points A,B et C...
je ne comprends pas trop
et qu'est ce qu'on prouve avec ces satanés calculs?
j'avoue que je n'en sais rien
si mathafou est dans le secteur, il aura peut-être une explication....
(pas de souci pour les calculs, mais l'interprétation ?? )
Bonjour,
on prouve ce qui est demandé dans l'énoncé.
à savoir que quel que soit le point M choisi, les droites définies par l'énoncé sont "concourantes ou parallèles"
A est un point fixe quelconque de l'hyperbole et B et C ses projections sur les axes
on ne demande pas une telle généralisation !! uniquement avec le point A (et donc B et C) choisis ici.
en fait on peut généraliser ça énormément plus loin que cet exo, mais cela entrainerait vers des considérations complètement hors programme ici.
pour le fun et satisfaire les curiosités (on peut ne pas lire) :
soient quatre points fixes O, U, V et A quelconques
(Ou et OV étant l'équivalent dans notre exo des axes Ox et Oy)
la droite (AV) coupe (OU) en B et la droite (AU) coupe (OV) en C
(c'est l'équivalent de "projection de A sur les axes")
en fait : soit OABUV un "quadrialtère complet" quelconque
pour n'importe quel point M variable du plan on trace
(MV) qui coupe (OU) en P
(MU) qui coupe (OV) en Q
les droites (AM), (BQ) et (CP) sont concourantes ou parallèles
vous allez me dire "et l'hyperbole là dedans ???"
c'est presque de la déco pour faire faire des calculs ...
en fait elle n'intervient pas dans la conclusion générale telle qu'elle est énoncée "concourantes ou parallèles"
elle ne sert qu'à dissocier le cas "concourantes" du cas "parallèles " dans la formulation "concourantes ou parallèles"
si M est sur la courbe alors les droites sont parallèles, si M est en dehors, alors elles sont concourantes
la traduction de cette hyperbole dans le cas général est la conique tangente en U et V à (OU) et (OV) et passant par A.
Si M est sur cette conique, les droites sont concourantes sur la droite (UV)
nota dans une optique naïve de géométrie projective : la droite (UV) joue le rôle de "droite de l'infini"
des droites qui concourent sur cette "droite de l'infini" sont appelées "droites parallèles"
une hyperbole coupe la droite de l'infini en deux points, et les tangentes en ces points sont ... les asymptotes de l'hyperbole et on voit le lien avec l'exo et son hyperbole.
merci mathafou
pas tout compris
une explication dans l'énoncé pour faire digérer l'exercice aurait été la bienvenue
et merci malou j'espère être au point sur les vecteurs directeurs
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