Je suis désolé mais j'ai oublié de préciser que la fonction est définie sur ]0, +inf[

Bonjour, c'est la fonction ou c'est déjà sa dérivée ?

Il s'agit de la dérivée.

tu es sûr ? c'est toi qui a dérivé ou on te l'a donné comme ça ?

La fonction initiale est f(x)=ln(x)/racine(x) + 1 - x. La dérivée est (-2x(x racine(x) -1) - ln(x))/2x racine(x) mais je dois seulement étudier le signe du numérateur.

tu peux déjà dire :
- entre 0 et 1, le -ln(x) est positif et le -2x(xx-1) aussi donc la somme est positive
- après 1, -2x(xx-1) est négatif et -ln(x) aussi donc la fonction est négative

Don tu as le signe de la dérivée, et tu peux en déduire les variations de la fonction.

Merci beaucoup.. j'essayais de résoudre en faisant des inéquations et je m'étais totalement perdu.

Une dernière question: comment avez vous déterminé le signe de -2(x racine(x) - 1)?

xx = x^3/2
quand on élève un nombre entre 0 et 1 à une puissance plus grande que 1 on obtient un nombre plus petit que 1.

Dit autrement, cette fonction g(x)=xx est croissante et comme g(0)=0 et g(1)=1, entre 0 et 1 on a bien
g(x) 1 donc xx - 1 0