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Étudier les variations d’une fonction

Posté par
Kissamil
18-11-20 à 14:05

Bonjour,
Je ne sais pas si ce que je fais est bon ni comment faire la suite... voici l'exercice :

c'est une question d'étudier la variabilité d'une fonction :
La fonction est :
f(x) = \frac{1}{1+x^2}
Il faut :
-faire le tableau de variations de cette fonction en précisant ses limites aux bornes de son ensemble de définition.
-en déduire que quand t varie sur R, f(x) varie sur [0;1]

J'ai donc fait la dérivée de la fonction pour pouvoir avoir son signe puis les variations :
f'(x) = \frac{-2x}{(1+x^2)^2}

J'ai fait le tableau (voir photo)

Du coup je ne sais pas s'il est bon, que veut dire « préciser ses limites aux borne de son ensemble de définition » et comment déduire que f(x) varie sur [0;1] ?

Merci beaucoup d'avance.

Étudier les variations d’une fonction

Posté par
sanantonio312
re : Étudier les variations d’une fonction 18-11-20 à 14:08

Bonjour,
Tout est bon sauf f(0)

Posté par
Glapion Moderateur
re : Étudier les variations d’une fonction 18-11-20 à 14:09

Bonjour, oui OK juste une erreur, pour x=0 la fonction vaut 1 pas 1/2

Posté par
sanantonio312
re : Étudier les variations d’une fonction 18-11-20 à 14:10

Il faut que tu évalues les limites en + et -
Ce n'est pas très difficile. Si?

Posté par
sanantonio312
re : Étudier les variations d’une fonction 18-11-20 à 14:10

Bonjour Glapion

Posté par
Glapion Moderateur
re : Étudier les variations d’une fonction 18-11-20 à 14:11

Salut sana, je te laisse avec Kissamil

Posté par
Kissamil
re : Étudier les variations d’une fonction 18-11-20 à 14:11

Merci, je viens de corriger
Si on étudie les limites, en + infini la limite c'est 0 et en - infini aussi ?

Posté par
sanantonio312
re : Étudier les variations d’une fonction 18-11-20 à 14:12

Oui

Posté par
Kissamil
re : Étudier les variations d’une fonction 18-11-20 à 14:15

Merci, mais je ne comprends pas en quoi ça m'aide pour dire que la fonction varie sur [0;1] ?

Posté par
sanantonio312
re : Étudier les variations d’une fonction 18-11-20 à 14:18

Que se passe-t-il pour f(x) quand x varie de - à 0?
Que se passe-t-il pour f(x) quand x varie de 0 à +?

Posté par
sanantonio312
re : Étudier les variations d’une fonction 18-11-20 à 14:18

Trace une allure de la courbe. Ça pourrait t'aider

Posté par
sanantonio312
re : Étudier les variations d’une fonction 18-11-20 à 14:21

Mais déjà, les deux limites et f(0) dans la dernière ligne du tableau de variations, ça donne des indications

Posté par
Kissamil
re : Étudier les variations d’une fonction 18-11-20 à 14:28

De -infini à 0 la courbe est croissante et sa limite est 1, et de 0 à +infini la courbe est décroissante et sa limite est 0 ?

Posté par
sanantonio312
re : Étudier les variations d’une fonction 18-11-20 à 15:15

C'est plutôt:
A - la limite est 0 puis la courbe est croissante jusqu'à 0 où f(0)=1.
De 0 à + la courbe est décroissante et sa limite à + est 0
Car f(0)=1 n'est pas une limite mais une valeur atteinte.
Contrairement à 0 en + et -

Posté par
Kissamil
re : Étudier les variations d’une fonction 18-11-20 à 15:21

Ah d'accord, merci beaucoup

Posté par
sanantonio312
re : Étudier les variations d’une fonction 18-11-20 à 16:32



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