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étudier un parallélogramme

Posté par
lulu101
28-10-16 à 13:04

Bonjours,j'ai du mal a résoudre tous l'exercie , surtout pour la 2)a et la 2)b . Merci de m'aider.

ABCD est le quadrilatère ci-dessous. On partage chacun des cotés [AB],[BC],[CD] et [DA] en trois segments de même longueur et on joint deux à deux les points obtenus comme le montre la figure ci-dessous. On obtient alors un quadrilatère PQRS.


1) Démontrer que le quadrilatère PQRS est un parallélogramme
2) I est le point d'intersection des diagonales [AC] et [BD]. M est l'intersection de (PS) et (AC),N est l'intersection de (PQ) et (BD).
  a) Démontrer que IP = 2/3IA + 2/3IB ( il y a des flèches au-dessus des lettres)
  b) En déduire que IA+IB+IC+ID=3IO où O est le centre du parallélogramme PQRS

Posté par
lulu101
re : étudier un parallélogramme 28-10-16 à 14:30

voila la Figure de l'exercice, Merci

étudier un parallélogramme

Posté par
mathafou Moderateur
re : étudier un parallélogramme 28-10-16 à 14:49

Bonjour ,

figure pas très lisible, il faut se prendre un torticolis pour la lire, et en plus la regarder dans un miroir : l'appareil photo incorporé dans un téléphone portable n'est pas pour servir de miroir et se regarder dedans (= mal paramétré, de toute façon c'était à toi de la remettre à l'endroit, pas à nous).

tu es en retard par rapport à tes collègues de lycée qui ont fait cet exo dès qu'ils l'ont eu...
(rechercher sur l'ile)

Citation :
Démontrer que IP = 2/3IA + 2/3IB ( il y a des flèches au-dessus des lettres)
donc c'est un exercice sur les vecteurs et il faut donc démontrer par les vecteurs que PQ et RS colinéaires etc...

une figure avec des points rajoutés "suggestifs"

étudier un parallélogramme

pourquoi \vec{FG} = \frac{1}{3}\vec{BD} ?

(Chasles et définition de l'énoncé des points F et G)
etc.

Posté par
mathafou Moderateur
re : étudier un parallélogramme 28-10-16 à 14:50

ps : rien dit sur le coup de la photo miroir, j'ai cru les voir à l'envers.

Posté par
lulu101
re : étudier un parallélogramme 28-10-16 à 15:00

D'accord merci et désolé pour l'image .
pour le 1 il faut donc simplement montrer la colinéarités des vecteurs PQ et RS , ceux qui veut dire qu'il faut monter que (xy'-yx'=0).
Mais pour la 2)a et é)b je ne comprend pas la relation de Chasles?

Posté par
mathafou Moderateur
re : étudier un parallélogramme 28-10-16 à 15:14

comme il n'y a pas de coordonnées dans cet exo ta propriété ne servira à rien du tout.
la colinéarité c'est par la définition même
deux vecteurs sont colinéaires ssi il existe un réel k tel que \vec{u} = k\vec{v}

Chasles c'est par exemple pour prouver l'affirmation que j'ai donnée, à partir de définitions de l'énoncé qui sont, traduites en vecteur :

F au tiers de [AB] à partir de A \vec{AF} = \frac{1}{3}\vec{AB}

Chasles permet alors de calculer \vec{FG} = \vec{FA}+\vec{AG} en fonction de \vec{BD}

et donc d'assurer que \vec{FG} et \vec{BD} sont colinéaires (= il existe bien k tel que etc et ce k vaut même 1/3)

Posté par
mathafou Moderateur
re : étudier un parallélogramme 28-10-16 à 15:27

"d'autres" = Thalès et pb sur mon DM et etc ... (sous diverses variantes, Thalès et autres, ou vecteurs et autres.
c'est un problème récurrent, comme je l'avais vu la semaine dernière avec exactement le même énoncé ( = "avec des vecteurs") j'ai pensé que tu étais un collègue de Pauloe "un peu en retard à faire les exos pour la rentrée"

Posté par
lulu101
re : étudier un parallélogramme 28-10-16 à 15:28

une fois qu'on a fait Chasles: FG=FA+AG , donc ceci nous a prouver la colinéarités de PQ et RS?

Posté par
lulu101
re : étudier un parallélogramme 28-10-16 à 15:29

a nn

Posté par
mathafou Moderateur
re : étudier un parallélogramme 28-10-16 à 16:04

tu n'as pas compris :
FG=FA+AG est le tout début du calcul
il faut le poursuivre jusqu'au bout ...


et il finira (reste quelques lignes de calcul à faire) par prouver la colinéarité de PS et QR

une seule colinéarité ne suffit pas à prouver un parallélogramme, ça prouvera juste que (PS) et (QR) sont des droites parallèles,
et donc juste PQRS un trapèze
démontrer que les vecteurs sont non seulement colinéaires mais égaux, suffirait,
mais pour PQRS c'est plus compliqué (vu que rien n'est dit "vectoriellement" sur les points P, Q, R, S eux même dans l'énoncé
juste ce qui est dit est que P,F,G,S alignés,

donc \vec{PS} est colinéaire avec \vec{FG}
et si je prouve (Chasles jusqu'au bout du calcul) que \vec{FG} et \vec{BD} sont colinéaires, alors \vec{PS} et \vec{BD} aussi et c'est quasi gagné :
on fait pareil de l'autre côté pour prouver que \vec{QR} et \vec{BD} sont colinéaires
et donc \vec{PS} et \vec{QR} étant colinéaires tous deux au même vecteur \vec{BD} sont colinéaires entre eux et par conséquent les droites (PS) et (QR) sont parallèles.

puis de nouveau pareil encore deux fois pour prouver le parallélisme de (PQ) et (RS)

("pareil" ne veut pas dire qu'on écrit explicitement chacun des calculs !!!)

Posté par
lulu101
re : étudier un parallélogramme 28-10-16 à 19:32

FG=2FM+AG
FG=1/3BA+AG
FG=1/3BG
est ce bon?

Posté par
mathafou Moderateur
re : étudier un parallélogramme 28-10-16 à 19:58

2FM = ????????? et tu l'as démontré comment ???
quel rapport (faux de plus) as tu démontré entre les vecteurs FM et BA pour te permettre de remplacer 2FM par 1/3BA ???

ce qui sert c'est uniquement ces points là
(les autres c'est pour des questions suivantes)

étudier un parallélogramme

FG = FA + AG

et on remplace (pas de point M ni de trucs pas prouvés, ni pire, faux)

AF = 1/3 AB de par l'énoncé (les points au tiers) et donc FA = 1/3 BA (simple changement de signe)
AG = 1/3 AD (idem)

FG = FA + AG = 1/3 BA + 1/3 AD = 1/3(BA + AD) = 1/3 BD (re Chasles à l'envers) terminé pour celui là
conclusion de ce calcul de deux lignes en fait :
la droite (FG) c'est à dire (PS) est parallèle à la droite (BD)
prouvé par les vecteurs comme il se doit

ou "avec le langage vecteur" le plus loin possible :

donc (en vecteurs) FG et BD sont colinéaires
et comme PS et FG sont colinéaires (car portés par la même droite !) alors
PS et BD sont colinéaires

reste à continuer en disant simplement (et pas en le faisant explicitement) que
"on démontrerait de la même façon que (QR) est parallèle à (BD)
ou dans le langage vecteurs que QR et BD sont colinéaires

ce qui démontre finalement que PS et QR sont colinéaires et c'est tout pour ces deux là
une phrase du même genre que la précédente permet d'affirmer sans calcul effectif que PQ et RS sont "de même" colinéaires

attention : rien ne permet d'affirmer par ces seuls calculs que PS = QR vu qu'on n'a aucun coefficient dans "PS et FG sont colinéaires"

(ou alors il faudrait les démontrer ce qui sera bien plus long que de dire "on démontrerait de même" et d'utiliser la colinéarité deux à deux des 4 vecteurs)

Posté par
lulu101
re : étudier un parallélogramme 29-10-16 à 18:44

D'accord merci beaucoup , et donc pour la 2 à) utilisé t'on la relation de Chasles?

Posté par
mathafou Moderateur
re : étudier un parallélogramme 29-10-16 à 19:02

Oui,
mais si on n'utilise que la relation de Chasles directement ça deviendra assez vite filandreux

il faut faire ça par étapes
en reprenant la figure plus complète

étudier un parallélogramme

les colinéarités précédentes permettent d'affirmer que INPM est un parallélogramme
(car (BD) et (PS) parallèles etc, ou la même chose avec des vecteurs colinéaires)
et donc que IP = IM + IN (en vecteurs), vu que IN = MP et Chasles
ce qui est un raccourci intéressant
il suffit alors de calculer IM en fonction de IA, et IN en fonction de IB
(Thalès ou équivalent vectoriel) pour terminer la question.

Posté par
lulu101
re : étudier un parallélogramme 29-10-16 à 19:40

Il faut donc affirmer La colinéarites De NP et PM?

Posté par
mathafou Moderateur
re : étudier un parallélogramme 29-10-16 à 19:53

certainement pas vu que c'est "visiblement faux" !!
(ils ont le point P en commun tu prétends donc que M, N et P seraient alignés ??)

d'abord on n'affirme rien du tout
on justifie ou on prouve
à partir des seules données avérées dans l'énoncé même, ou démontrées formellement dans des questions d'avant

relis ce que j'ai écrit, je t'ai dit quels vecteurs il fallait considérer comme égaux

Posté par
lulu101
re : étudier un parallélogramme 29-10-16 à 21:29

OUI , donc IN=IP?

Posté par
mathafou Moderateur
re : étudier un parallélogramme 29-10-16 à 21:46

vraiment pas mieux !!!

j'ai pourtant écrit

Citation :
et donc que IP = IM + IN (en vecteurs), vu que IN = MP et Chasles


je t'ai même justifié pourquoi IN = MP :
parce que les droites (BD) et (PS) d'une part, les droites (AC) et (PQ) d'autre part sont parallèles
(démontré au cours des démonstrations précédentes qui ont abouti à prouver que MNPQ était un parallélogramme)
et par conséquent le quadrilatère INPM est un parallélogramme (définition de collège)
les segments [IN] et [MP] sont donc parallèles et égaux (idem collège), ce qui traduit (seconde) que les vecteurs IN = MP

il suffit ensuite de remplacer (rien que de remplacer) dans (en vecteurs) IP = IM + MP (Chasles) le vecteur MP par le vecteur égal IN pour en déduire que

\boxed{\vec{IP} = \vec{IM} + \vec{IN}}
(qui, est d'ailleurs une propriété classique servant à la construction de la somme de deux vecteurs : on construit un parallélogramme sur ces deux vecteurs)

POINT FINAL pour ça (c'est "en 30 secondes" selon la façon dont on le comprend) et maintenant on s'intéresse vraiment à ce qu'il faut vraiment faire (le vrai boulot)

Citation :
... de calculer IM en fonction de IA, et IN en fonction de IB
(Thalès ou équivalent vectoriel)

Posté par
lulu101
re : étudier un parallélogramme 30-10-16 à 09:07

Je ne comprend pas comment on peut prouver que IP=2/3IA+2/3IB?
Il fait regarder LE quadrilatère PMIN et dire si IP=IM+IN?mais comment peut t'on LE faire

Posté par
lulu101
re : étudier un parallélogramme 30-10-16 à 09:29

c'est bon: pour la 2)a): Chasles :IA+IB=(IP+PM+MA)+(IP+PN+NB)
IA+IB=2IP+(PM+PN)+MA+NB
Ensuite nous devons monter que MB=1/3IA , comment peut t'on le faire avec Thalès mais comment.

Posté par
mathafou Moderateur
re : étudier un parallélogramme 30-10-16 à 10:43

certes, mais ce n'est pas MB = 1/3 IA qu'il faut prouver (faute de frappe ?) mais MA = 1/3 IA

ça s'écrit AM = 1/3 AI (en vecteurs)
et là tu va avoir ton Thalès visible "comme le nez au milieu de la figure"

par contre il te restera ton (PM+PN)

et tu retombes sur ton questionnement (avec des "SI" faux alors que c'est une preuve, le parallélogramme, pas une hypothèse)
que tu sembles toujours ne pas comprendre qui est que PM + PN = PI
(le même que IP = IM+IN)

Posté par
lulu101
re : étudier un parallélogramme 30-10-16 à 11:07

OUI Pardon ceci est une faute de frappe,mais Thalès permet de voir si Des droites sécantes, coupées par des droites parallèles, sont partagées en segments de longueurs proportionnels, comment peut on LE faire avec des vecteurs ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : étudier un parallélogramme 30-10-16 à 11:25

Faut pas vouloir mettre des vecteurs absolument partout !!!

ici c'est Thalès
A, M, I sont dans le même ordre que A, F, B et sur des droites parallèles (droites parallèles démontrées question 1 !!)
donc (en longueurs) AM/AI = AF/AB = 1/3 par construction, soit AM = 1/3 AI (en longueurs)
et comme c'est alignés dans l'ordre indiqué c'est aussi vrai en vecteurs.

si tu ne veux pas utiliser Thalès tu devras utiliser les transformations du plan (à mon avis complètement hors programme)
ici une homothétie de centre A et de rapport 1/3

par construction on a AF = 1/3 AB (en vecteurs ce sera plus propre) montrant que F est l'image de B dans cette homothétie
et de même G est l'image de D

donc la droite (FG) est l'image de la droite (BD)
la droite (AI) qui passe par A est globalement invariante par cette homothétie

donc son intersection avec (FG) est l'image de son intersection avec (BD) c'est à dire M est l'image de I
donc AM = 1/3 AI (en vecteurs)

rien compris ?
c'est normal : utilise Thalès...
(Thalès est la traduction exacte "à bas niveau" de ces histoires d'homothéties, qui vont par contre bien au delà de Thalès, ces homothéties sont ici un marteau pilon pour écraser une mouche, la "tapette à mouche" de Thalès suffit largement)

Posté par
lulu101
re : étudier un parallélogramme 30-10-16 à 12:35

donc si je comprend  AM/AI  = AF/AB = 1/3 par construction, soit AM = 1/3 AI , donc ceci nous aide pour utilisé thales dans PMIN?

Posté par
mathafou Moderateur
re : étudier un parallélogramme 30-10-16 à 12:48

Thalès dans un parallélogrameme ??? ça veut dire quoi ?
Thalès c'est pour justifier que AM/AI = AF/AB (pour le prouver et pas juste pour l'affirmer ou le considérer comme hypothèse)

et c'est terminé là Thalès
après c'est que des vecteurs.


PMIN a déja été prouvé être un parallélogramme "au cours" de la question 1
c'est juste planqué par des noms de droites différents pour la même droite
la droite (PM) s'appelle tout aussi bien (PS) que (FG) que etc etc avec n'importe quel choix de deux points parmi P, F, M, G, S
tout ça c'est des noms de la même droite.
on a prouvé question 1 (réciproque de Thalès ou Chasles) que (FG) alias (PM) est parallèle à (BD) alias (NI)
on ne va pas recommencer ! c'est fait.

Posté par
lulu101
re : étudier un parallélogramme 30-10-16 à 12:56

D'accord La j'ai compris mais comment peut on prouver la 2)a) que IP=2/3IA+2/3IB?je suis désolé de pas comprendre mais je vois pas comment on peut faire

Posté par
mathafou Moderateur
re : étudier un parallélogramme 30-10-16 à 13:08

tu n'en étais pas loin tout de même !!!
avec Chasles tu as écrit que
IA+IB=(IP+PM+MA)+(IP+PN+NB) = 2IP+(PM+PN)+MA+NB

tu (!) viens de prouver que AM = 1/3 AI en vecteurs, par Thalès (donc MA = 1/3 IA)
tu prouves de même que BN = 1/3 BI

reste le terme PM+PN = PM + MI car le quadrilatère PMIN étant un parallélogramme (prouvé jadis) PN = MI en vecteurs
donc PM+PN = PI

tu n'as plus qu'à remplacer et simplifier tout ce fatras.

Posté par
lulu101
re : étudier un parallélogramme 30-10-16 à 13:37

PI=MN?

Posté par
mathafou Moderateur
re : étudier un parallélogramme 30-10-16 à 13:43

n'importe quoi
tu as vu ça où ???


tu as LU ce que j'ai écrit ? tout y est rédigé !
exactement et complètement
ensuite ce n'est que du pur remplacement à la colle et au ciseaux...

Posté par
lulu101
re : étudier un parallélogramme 30-10-16 à 13:46

Mais remplace Quoi?

Posté par
mathafou Moderateur
re : étudier un parallélogramme 30-10-16 à 14:02

c'est vraiment pas croyable ...

tu as écrit toi même que

IA+IB = 2IP+(PM+PN)+MA+NB

on vient de démontrer que (relire) MA = 1/3 IA

remplacer c'est remplacer MA par ce qu'il vaut : MA par 1/3 IA

IA+IB = 2IP+(PM+PN)+1/3 IA+NB

et pareil pour tous les autres puisque j'ai donné la "valeur" de chacun des termes "embêtants" = autres que les IA et IB de l'énoncé

je ne vais pas tous te les remplacer comme ça, faut pas pousser !!! tu as du PéQ aussi ?

il ne restera au final que des IA, des IB et des IP et rien d'autre
et il n'y aura plus qu'à simplifier cette expression. (passer tous les IA et IB du même côté etc)

Posté par
lulu101
re : étudier un parallélogramme 30-10-16 à 14:17

IA+IB = 2IP+(PM+PN)+1/3 IA+NB
IA+IB=2IP(PM+PN)+1/3IA+1/3IB
IA+IB=

Posté par
mathafou Moderateur
re : étudier un parallélogramme 30-10-16 à 14:24

je t'ai écrit à quoi était égal (PM+PN)

Posté par
lulu101
re : étudier un parallélogramme 30-10-16 à 15:18

PN+PM=PI?

Posté par
mathafou Moderateur
re : étudier un parallélogramme 30-10-16 à 15:37

oui

c'est bien ce que j'ai écrit, non ? et j'ai expliqué pourquoi, aussi.

Posté par
lulu101
re : étudier un parallélogramme 30-10-16 à 15:56

IA+IB = 2IP+(PM+PN)+1/3 IA+NB
IA+IB=2IP(PM+PN)+1/3IA+1/3IB
IA+IB=2IP+PI+1/3IA+1/3IB?est ce fini

Posté par
mathafou Moderateur
re : étudier un parallélogramme 30-10-16 à 16:52

bein non, faut simplifier tout ça maintenant

PI = -IP et donc simplifier
passer tous les IA et IB du même côté etc...

Posté par
lulu101
re : étudier un parallélogramme 30-10-16 à 17:00

IA+IB = 2IP+(PM+PN)+1/3 IA+NB
IA+IB=2IP(PM+PN)+1/3IA+1/3IB
IA+IB=2IP+PI+1/3IA+1/3IB
2/3IA+2/3IB=IP?

Posté par
mathafou Moderateur
re : étudier un parallélogramme 30-10-16 à 17:30

bein oui
et c'est bien ce qu'on te demandait de prouver, non ?

Posté par
lulu101
re : étudier un parallélogramme 30-10-16 à 17:36

OUI merci beaucoup donc en rédigeant je mettrais: le quadrilatère INPM est un parallélogramme
les segments [IN] et [MP] sont donc parallèles et égaux ce qui traduit que les vecteurs IN = MP
Ensuite nous utiliserons la relation De Chasles:IA+IB = 2IP+(PM+PN)+1/3 IA+NB
IA+IB=2IP(PM+PN)+1/3IA+1/3IB
IA+IB=2IP+PI+1/3IA+1/3IB
2/3IA+2/3IB=IP

Posté par
mathafou Moderateur
re : étudier un parallélogramme 30-10-16 à 18:13

à partir du moment où tu invoques l'égalité de IN = MP il semble juste de dire à quoi elle va te servir !!
(à transformer PM + PN en PN + NI = PI)

et du coup c'est plus judicieux de citer plutôt leurs opposés : NI = PM

de plus tu n'as rien dit du passage incontournable par Thalès pour pouvoir remplacer les MA et NB

alors ça fait bizarre de voir des calculs détaillés un par un mais avec des gros bouts qui manquent par ailleurs...

Posté par
lulu101
re : étudier un parallélogramme 30-10-16 à 18:34

grace a thalès on peut apercevoir que A, M, I sont dans le même ordre que A, F, B et sur des droites parallèles donc AM/AI  = AF/AB = 1/3 par construction, soit AM = 1/3,le quadrilatère INPM est un parallélogramme
les segments [IN] et [MP] sont donc parallèles et égaux ce qui traduit que les vecteurs IN = MP
Ensuite nous utiliserons la relation De Chasles:IA+IB = 2IP+(PM+PN)+1/3 IA+NB
IA+IB=2IP(PM+PN)+1/3IA+1/3IB
IA+IB=2IP+PI+1/3IA+1/3IB
2/3IA+2/3IB=IP

Pour finir on peut conclure que IP=2/3IA+2/3IB

Posté par
mickey1234
re : étudier un parallélogramme 30-10-16 à 18:40

Bonjour j'ai exactement le même sujet.
comment fait on pour en déduire que IA + IB + IC + ID = 3IO

Je suis arrivée à  IP + IS + IR + IQ = 4/3 ( IA + IB + IC +ID ) ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : étudier un parallélogramme 30-10-16 à 18:48

ça fait un peu fouillis du côté rédaction (coq à l'âne, trucs pas explicitement utilisés etc)

= ça donne l'impression d'être pompé quelque part, ce qui d'une certaine façon est vrai , vu que c'est moi qui ai fait 90% du boulot.

une rédaction correcte consiste à expliquer à quelqu'un qui n'a pas fait l'exo tout ce qu'il faut pour qu'il comprenne les calculs que l'on fait et pourquoi on les fait...
et donc énoncer clairement et sincèrement ce que l'on fait vraiment.
de préférence de façon sobre (du genre ne pas s'attarder sur les lignes intermédiaires de calcul qui finissent par noyer le poisson et rendre le discours lassant, comme remplacer un par un séparément MA puis sur une autre ligne NB)
sans toutefois cacher des trucs sous le tapis comme ce "1/3IA" qui apparait prétendument par Chasles alors que nenni, il vient déja d'une substitution (de MA) après Chasles.


mais bon, restons en là, tu vas mettre tout ça tranquillement au propre, hein...
en relisant un peu plus tard ce que tu as écrit et en te demandant si tu comprends ce que tu as toi-même écrit...

Posté par
mathafou Moderateur
re : étudier un parallélogramme 30-10-16 à 18:54

mickey1234
pour faire apparaitre IO il faut bien entendu .. le faire apparaitre (volontairement)

donc décomposer IP en IO + OP etc

et ensuite utiliser que O est le point de concours des diagonales du parallélogramme
donc OP+OR = 0 car elles se coupent en leur milieu

Posté par
lulu101
re : étudier un parallélogramme 30-10-16 à 18:59

ok pas de soucis , pour la 2)b) il faut faire comme IP=2/3IA+2/3IB pour la 2)b?

Posté par
mickey1234
re : étudier un parallélogramme 30-10-16 à 19:02

Merci beaucoup, je viens de trouver la réponse

Posté par
mickey1234
re : étudier un parallélogramme 30-10-16 à 19:05

Et juste pour la première question, quand l'on veut prouver que c'est un parallélogramme est ce que l'on peut le démontrer juste grâce à la réciproque du théorème de Thalès sans passer par les vecteurs ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : étudier un parallélogramme 30-10-16 à 19:34

mickey1234

juste grâce à la réciproque du théorème de Thalès
oui bien sûr (la rédaction en est même plus condensée encore)
on est parti sur cette méthode avec les vecteurs, d'abord parce qu'elle fonctionne ici (contrairement à l'autre cas où on a besoin de Thalès)
et ensuite parce que le thème de l'exo était les vecteurs, alors autant en profiter pour "s'entraîner"


lulu101 pour la 2b :
une piste t'a été donnée par mickey1234
Citation :
Je suis arrivée à IP + IS + IR + IQ = 4/3 ( IA + IB + IC +ID ) ?

par simple remplacement et addition membre à membre de relations "comme" celle de la 2a
qu'on ne redémontre pas individuellement mais dont on dit,
après avoir démontré explicitement que IP = 2/3IA + 2/3IB (question 2a)

"on démontrerait de même" que IQ = ... , IR = ..., et IS = ...
je te laisse effectuer les permutations de noms de sommets correspondantes.
(ce n'est que du renommage)

Posté par
lulu101
re : étudier un parallélogramme 30-10-16 à 19:47

IQ=2/3IA+2/3IB+IM?

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