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Euler Linearisation

Posté par
Yannick-A 11-09-12 à 18:52

Bonsoir, j'étudie les maths par plaisir .. après des recherches sur internet , je suis tombé sur les formules d'Euler, je ne vais pas les citer ici. Ma question est la suivante: peut on linéariser une fonction ?
Exemple: f(x)=cos^22xsin^3x ? car j'ai compris le principe pour les expressions de type   cos^4x  ou  sin^5x       etc mais pas de cette forme. Merci par avance

Posté par
Yannick-Are : Euler Linearisation 11-09-12 à 19:21

Juste pour précision, on traite chaque terme de cette fonction séparement ou je dois traiter tout en même temps ? de plus cos^2x , je sais faire mais  cos^22x je vois pas du tout .....

Posté par
numero10re : Euler Linearisation 11-09-12 à 19:25

Salut,

Tu sais que:

cos(2x)=cos(x+x)=cos²(x)-sin²(x)

Posté par
LeDinore : Euler Linearisation 11-09-12 à 19:30

Si tu sais facilement linéariser sinnx, alors voici ce que tu peux faire par exemple :

f(x)  =  sin3x(cos2x)²  =  sin3x(cos²x - sin²x)²  = sin3x(1 - 2sin²x)²

En développant, tu auras un terme en sin3x un terme en sin5x un terme en sin7x, et après, à toi de jouer ...

Posté par
Yannick-Are : Euler Linearisation 11-09-12 à 19:31

Merci pour ta réponse, donc :

cos^22x=(cos^2x-sin^2x)^2   ???

Posté par
LeDinore : Euler Linearisation 11-09-12 à 19:34

ben oui !!!  

Posté par
Yannick-Are : Euler Linearisation 11-09-12 à 19:45

Ce qui m'inquiete un peu c'est quand je vais tout passer avec la formule d'euler sous forme exponentielle ..... ca va faire une sacrée équation.

Posté par
numero10re : Euler Linearisation 11-09-12 à 19:55

Ah ben la linéarisation, c'est que du calcul. C'est pas très intéressant mais c'est comme ça.

Posté par
Yannick-Are : Euler Linearisation 11-09-12 à 22:41

Merci pour vos lanternes .... je pense avoir compris. Je mets sous forme exponentielle, puis triangle de Pascal et Binome de Newton pour faire le calcul.
J'obtiens celà pour l'instant:

cos^22xsin^3x=sin^3x-2sin^5x+sin^7x

je mets sous forme exponentielle (j'arrive pas à ecrire l'expression en LateX) .... et je finis le calcul, je ne souhaite pas la réponse, je fais ce calcul et je poste ici svp. Une dernière indication, je repasse en cos après pour le résultat ?

Posté par
numero10re : Euler Linearisation 11-09-12 à 22:51

A la limite, tu peux factoriser par sin^3(x), tu pourras te limiter à du sin^4(x). Et il existe peut être des moyens plus simple de simplifier du sin^n(x).

Posté par
Yannick-Are : Euler Linearisation 11-09-12 à 22:58

Ok numero10 mais là ma question est de linéariser cette équation avec les formules d'Euler .... je vais prendre le temps demain à tête reposée de faire ce calcul et poster mon résultat , celà me fera un bon entrainement. Je n'ai pas de devoirs à rendre, je fais ca pour le plaisir et prépare un concours niveau BTS. Par contre je veux bien connaitre le moyen de simplifier tout ca au cas où ..... j'ai quitté l'école il y a 20 ans maintenant ..... et je me suis arrété au BAC F2. En tout cas merci pour vos implications et vos aides.

Posté par
LeDinore : Euler Linearisation 12-09-12 à 00:11

Bonsoir Yannick,

Ton résultat intermédiaire est erroné.

Voici le cacul juste :

cos^2 2x.sin^3x = (1 - 2 sin^2 x)^2.sin^3x
cos^2 2x.sin^3x = (1 - 4 sin^2 x + 4 sin^4 x).sin^3x
\boxed {  cos^2 2x.sin^3x = sin^3x - 4sin^5x + 4sin^7x  }

Ensuite la linéarisation des puissances impaires des sinus est assez simple.

Exemple pour sin7x :

sin^7x = \frac {(e^{ix} - e^{-ix})^7}{(2i)^7} = \frac {1}{-64.2i} (e^{7ix} - 7.e^{5ix} + 21.e^{3ix} - 35.e^{ix} + 35.e^{-ix} - 21.e^{-3ix} + 7.e^{-5ix} - e^{-7ix})

\boxed {  sin^7x = \frac {-1}{64} (sin7x - 7sin5x + 21sin3x - 35sinx)  }

Etc...

Posté par
Yannick-Are : Euler Linearisation 12-09-12 à 10:47

Merci LeDino pour la correction, effectivement j'ai oublié le 2 devant le sin dans  (1-2sin^2)^2  , j'ai plus qu'à tout reprendre avec les exponentielles car évidement mon résultat est faux. Je m'y remet ....

Posté par
Yannick-Are : Euler Linearisation 12-09-12 à 12:27

Bonjour, je viens de refaire le calcul et j'obtiens:

(-1/16)(sin7x-3sin5x+36sin3x-7sinx)

J'ai vérifié avec un angle de /6 les résultats sont cohérents mais pas avec les autres angles , je dois faire une erreur quelque part lors du remplacement de x par les autres angles.

Posté par
Yannick-Are : Euler Linearisation 12-09-12 à 14:19

Bon, en fait mon calcul est toujours faux .... je recommence car maintenant j'obtiens :

(1/16)(sin7x-11sin5x+45sin3x-87sinx)  celà me parait énorme non??

Posté par
GaBuZoMeure : Euler Linearisation 12-09-12 à 14:39

Sans intervenir sur le fond, juste une remarque LaTeXique : vous améliorerez grandement la lisibilité des formules en utilisant les commandes de fonction \cos \sin, etc :
(1/16)(\sin 7x-11\sin 5x+45\sin 3x-87\sin x)
(code : (1/16)(\sin 7x-11\sin 5x+45\sin 3x-87\sin x) )
c'est tout de même plus chouette, non ?

Posté par
LeDinore : Euler Linearisation 12-09-12 à 14:48

En effet, ce n'est pas correct...
Le résultat final doit être :

\boxed {  cos^2 2x.sin^3x  =  \frac {1}{16} (7sinx -5sin^3x +3sin^5x -sin^7x)  }

Posté par
GaBuZoMeure : Euler Linearisation 12-09-12 à 14:50

Rien à faire, LeDino porte bien son pseudo, il n'évoluera pas !

Posté par
LeDinore : Euler Linearisation 12-09-12 à 14:51

GBZMisé :

\boxed {  \cos^2 2x .\sin^3x  =  \frac {1}{16} (7\sinx -5\sin^3x +3\sin^5x -\sin^7x)  }

Posté par
LeDinore : Euler Linearisation 12-09-12 à 14:52

Citation :
Rien à faire, LeDino porte bien son pseudo, il n'évoluera pas !

Si si ! Il apprend, il apprend...
C'est quand même un dino "survivor" ...

Posté par
LeDinore : Euler Linearisation 12-09-12 à 14:53

Et c'est vrai que c'est plus joli.

Posté par
GaBuZoMeure : Euler Linearisation 12-09-12 à 14:59



Attention tout de même : après \sin, un(e) espace ou alors un symbole non littéral.

Posté par
Yannick-Are : Euler Linearisation 12-09-12 à 15:00

Merci, j'avoue ne plus comprendre, en linéarisation les exposants disparaissent normalement au profit d'une somme de sinus pour ce cas. J'ai du faire des grosses erreurs de signe lors de la somme car mon premier résultat est plus proche du tien que mon deuxième.... je recommence.

Posté par
Yannick-Are : Euler Linearisation 12-09-12 à 15:37

Bon je reprends depuis le début mon calcul d'après vos conseils:

1-  \cos^2 2x . \sin^3 x = \sin^3 x - 4 \sin^5 x + 4 \sin^7 x

2-  \sin^7 x = (-1/64) (\sin 7x -7\sin 5x +21\sin 3x -35\sin x)

3-  \sin^5 x = (-1/16) (\sin 5x -5\sin 3x +10 sin x)

4-  \sin^3 x = (-1/4) (\sin 3x -3\sin x)

5-  Je remplace ces résultats dans l'équation de départ.

Posté par
GaBuZoMeure : Euler Linearisation 12-09-12 à 15:50

Bon maintenant sur le fond. Moi, j'écrirais

\cos^2 2x \sin^3 x= \left(\dfrac{e^{i2x}+e^{-i2x}}{2}\right)^2 \left(\dfrac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\right)^3

et je retrousserais mes manches.

Posté par
LeDinore : Euler Linearisation 12-09-12 à 16:18

Citation :
Merci, j'avoue ne plus comprendre, en linéarisation les exposants disparaissent normalement

Aïe !
Mea culpa : j'ai écrit trop vite...

\boxed {  \cos^2 2x .\sin^3x  =  \frac {1}{16} (7\sin x -5\sin 3x +3\sin 5x -\sin 7x)  }

Remarque 1 :  J'ai validé la linéarisation ci-dessus avec EXCEL. Cette fois c'est du solide .

Remarque 2 :  Le \sinx est piégeux : latex l'ignore (logiquement)... bien écrire \sin x

Posté par
Yannick-Are : Euler Linearisation 12-09-12 à 16:22

Avec ce que tu me marques BaBuZoMeu c'est pas les manches que je retrousse mais plutot les bras que je baisse ...

Posté par
Yannick-Are : Euler Linearisation 12-09-12 à 16:24

Merci LeDino, peux tu vérifier si mon post 12-09-12 à 15:37  est juste car je dois obligatoirement faire une faute de signe, merci par avance

Posté par
LeDinore : Euler Linearisation 12-09-12 à 16:44

Citation :
Bon je reprends depuis le début mon calcul d'après vos conseils:

1-  \cos^2 2x . \sin^3 x = \sin^3 x - 4 \sin^5 x + 4 \sin^7 x

2-  \sin^7 x = (-1/64) (\sin 7x -7\sin 5x +21\sin 3x -35\sin x)

3-  \sin^5 x = (-1/16) (\sin 5x -5\sin 3x +10 \sin x)

4-  \sin^3 x = (-1/4) (\sin 3x -3\sin x)

5-  Je remplace ces résultats dans l'équation de départ.

C'est l'expression (3) qui pose problème. Tu as inversé le signe...

\boxed {  \sin^5 x = \frac {1}{16} (\sin 5x -5\sin 3x +10 \sin x)  }

Car tu as  (2i)^5  au dénominateur, qui devient :  

2i(2)^4(i)^4  =  2i(16)     (le 2i servant à reconstituer les sinus...)

Posté par
GaBuZoMeure : Euler Linearisation 12-09-12 à 16:58

Citation :
plutot les bras que je baisse ...

Pff! petit bras!
\begin{aligned} \\ \cos^2 2x \sin^3 x&=\left(\dfrac{e^{i2x}+e^{-i2x}}{2}\right)^2 \left(\dfrac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\right)^3\\ \\ &= \dfrac{(e^{i4x}+2+e^{-i4x})\;(e^{i3x}-3e^{ix}+3e^{-ix}-e^{-3ix})}{-16\,(2i)}\\ \\ &= \dfrac{(e^{i7x}-e^{-i7x})-3(e^{i5x}-e^{-i5x})+5(e^{i3x}-e^{-i3x})-7(e^{ix}-e^{-ix})}{-16\,(2i)}\\ \\ &=\dfrac{1}{16}\;(7\sin x -5\sin 3x +3\sin 5x -\sin 7x) \\ \end{aligned}

Posté par
Yannick-Are : Euler Linearisation 12-09-12 à 17:45

Merci à vous 2 :

Pour LeDino, je retombe sur ton résultat en corrigeant mon erreur de signe.

Pour GaBuZoMeu , hé oui je suis pas balaise .... par contre je suis bluffé et admiratif de ta démonstration, je dormirais bien bête ce soir.

Allez dernière question sur les cos et sin .....

si je remplace x par (/6) , je dois trouver  \frac {1}{32}  ??

Posté par
LeDinore : Euler Linearisation 12-09-12 à 18:02

Oui, c'est bien ça : 1/32.

Posté par
LeDinore : Euler Linearisation 12-09-12 à 18:09

Citation :
Pour LeDino, je retombe sur ton résultat en corrigeant mon erreur de signe.

Cool .
Je pense que tu as bien compris le truc.

Citation :
Pour GaBuZoMeu .... je suis bluffé et admiratif de ta démonstration, je dormirai bien bête ce soir.

Bah tu peux être certain que t'es pas le premier bluffé (ni sûrement le dernier) .
Alors ce soir dors bien content du travail que tu as fait et de ce que tu as compris, qui n'était pas simple ...
Et garde effectivement à l'esprit que bien des chemins mènent à Rome, et que tenter des voies différentes offre une vision contrastée, et donc plus riche, des concepts que tu manipules.

Autrement dit : refais le calcul en prenant la voie proposée par GBZM.
Et ce nouveau chemin t'appartiendra ensuite pour toujours .

Posté par
Yannick-Are : Euler Linearisation 12-09-12 à 18:34

Merci encore pour tout LeDino , oui je me doute, j'ai été surpris par la simplicité de son équation ou tout du moins de la manière qu'il a posé cette dernière. Bien évidement, j'ai fait le calcul développé de son équation ... celà revient au même (heureusement). Oui, j'ai parfaitement compris comment linéariser avec les formules d'Euler, il ne me reste qu'à être plus rapide pour les résoudre. Apprendre les maths seul sans aide, faut être motivé, je fais le programme BTS en 1 an pour pouvoir passer mon concours. Donc je serais souvent présent ici pour demander de l'aide.
D'ailleurs vont suivre d'autres exercices sur les complexes et les divisions euclidiennes de polynomes

Posté par
LeDinore : Euler Linearisation 12-09-12 à 19:17

L'exercice était ingrat et assez risqué (quelle que soit la voie empruntée).
Non seulement tu es allé au bout, mais tu as visiblement maîtrisé les concepts.

A mon sens, tu peux être très optimiste pour la suite : tu sembles très bien armé.
Et revenir plusieurs années après, avec la motivation et la maturité, ça devrait te faire redécouvrir les maths différemment et te réserver de belles surprises ...
C'est comme un puzzle géant qui prend du relief et de la perspective à mesure que tu l'assembles...


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