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Evolution d une population au bout de n années.

Posté par toto_36 (invité) 26-09-04 à 20:01

Bonjours, j'aimerai avoir un peu d'aide pour mon exercice s'il vous plait.

Dans une réserve, une population initiale de 1000 animaux évolue ainsi: chaque année,  20% des animaux disparaissent (c'est le bilan global des naissances et des décès) et on introduit 120 animaux supplméntaires. Le but de mon exercie est de décrire l'évolution de la population au bout de n années.

1. je doit montrer que je peux modeliser la population par une suite (Pn) définie par son premier terme Po et une relation de récurence Pn+1 = aPn + b ou a et b sont deux réels que l'on précisera.

2. Je dois ensuite à l'aide de la droite D d'équation y = ax + b dans un repère orthonormé du plan, représenter les premiers termes de la suite (Pn) (1 unité pour 100 animaux).
Conjecturer le sens de variation de la suite et la convergence de la suite (Pn).

3. On note a l'abscisse du point d'intersection I de la droite D avec K d'équation y = x et on pose Vn = Pn - a. Montrer que la suite (Vn) est une suite géométrique et préciser sa raison. Exprimer pour tout entier naturel n Vn puis Pn en fonction de n. Conclure.
(c'est un peu flou cette question pour moi, j'essaye de m'accrocher en cours mais ca va trop vite alors j'essaye de faire des exercices de moi meme qui resemble a ceux fait en classe,  pour cela j'aimerai voir la correction, puisque je pense que c'est en voyant un grand nombre de correction d'exercice que l'on apprend).

Merci d'avance.

Posté par toto_36 (invité)re : Evolution d une population au bout de n années. 27-09-04 à 12:07

Bonjours, s'il vous plait pouvez vous m'aider pour cet exercice merci

Posté par toto_36 (invité)help me 27-09-04 à 18:33

s'il vous plait j'ai vraiment besoin d'aide pour cet exercie.

merci d'avance

Posté par flofutureprof (invité)re : Evolution d une population au bout de n années. 27-09-04 à 18:44

1)ben pour ta relation de récurrence tu te contentes de traduire l'énoncé : Pn+1=80/100*Pn+120 (tu multiplies par 80/100,c'est comme ôter 20/100).Et Po=1000

2)normalement tu as vu cette méthode en cours pour tracer les premiers termes...tu traces la droite y = ax + b ; à partir de x=1000 tu traces une droite verticale et, lorsqu'elle coupe la droite  y = ax + b une droite horizontale pour ensuite couper la droite y=x, puis tu redescends jusqu'à l'axe des abscisses, ça te donnera P1, et ainsi de suite...

3)en fait je vais garder le a pour exprimer (Pn) et je vais baptiser l'abscisse du point d'intersection X, ça me facilite la vie...
déterminons X :
c'est l'abscisse du point d'intersection de la droite D avec la droite y=x on a donc la relation y=aX+b et aussi y=X donc X=aX+b cad X=b/(1-a)
trouvons maintenant la relation entre VN et Vn+1...
Vn+1= Pn+1-X
       = aPn+b-b/(1-a)
       = aPn+(b-ab-b)/(1-a)
       = aPn-ab/(1-a)
       = a[Pn-X]
Vn+1= a*Vn  (Vn) est une suite géométrique de raison a.
Ainsi on peut écrire que Vn= Vo*a^n
Vo=Po-X donc Vn= [Po-b/(1-a)]*a^n
Pn= Vn+X
Pn= [Po-b/(1-a)]*a^n+b/(1-a)
a^n tend vers 0 quand n tend vers +oo car |0.8|<1 ; donc Pn tend vers b/(1-a)...la suite converge vers le point d'intersection des droites y=x et y=ax+b




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