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Niveau maths sup
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ex avec polynomes

Posté par
roxane
02-03-05 à 22:15

bonjour, j'ai un dm de maths et j'ai des difficultés.est-ce que quelqu'un peut m'aider svp?

Po=1 Pk=\prod(X+j)  j allant de 0 à k-1

P Rn[X], on note f(P)=P(X)-P(X-1).

on sait que (Po,...,Pn) est une base de Rn[x]
et f est un endomorphisme de Rn[x]

on doit calculer f(Pk) pour k {0,...,n}
j'ai trouvé f(Pk)=k\prod(X+j),   j allant de 0 à k-2.

1)ensuite on doit montrer que Imf=Rn-1[X] et kerf=Ro[X]
ca j'ai pas réussi!

2)soit m {0,...,n-1},
on doit justifier que Xm admet au moins un antécédent Qm par f et qu'alors l'ensemble des antécédent de X[/sup]m par f est {Qm+l, lR}
est ce que je peux justifier par Imf=Rn-1 et que X[sup]m
Rn-1
ensuite j'ai fait f(Qm+l)=f(Qm)+f(l)=Xm car lRo[X].

3)puis on doit en déduire que !RmRn[X], Rm(0)=0 et f(Rm)=Xm
ca j'ai pas réussi


voilà, l'ex n'est pas fini mais si vous pouviez m'aidez pour la question 1 et 3 svp?

Posté par
franz
re : ex avec polynomes 02-03-05 à 23:14

1/

Comme (P_k)_{k\in [[0,n]]} est une base de {\mathbb R}_{n}[X]   \large {\mathcal Im}(f)=Vect\(f(P_k)\)_{k\in [[0,n]]}

\forall k \in [[1,n]]\;f(P_k)=k P_{k-1} et
\hspace{100} f(P_0)=0
donc

\large {\mathcal Im}(f)=Vect\((P_{k-1})\)_{k\in [[1,n]]}=Vect\((P_{j})\)_{j\in [[0,n-1]]}={\mathbb R}_{n-1}[X]     car les (P_j)_{j\in [[0,n-1]]} forment une famille polynômes de degrés échelonnés (de 0 à n-1) donc une base de {\mathbb R}_{n-1}[X]

Posté par
franz
re : ex avec polynomes 02-03-05 à 23:18

1/ suite
\dim {\mathcal Im}(f) + \dim {\mathcal Ker}(f) = \dim {\mathbb R}_n[X]
 \dim {\mathcal Ker}(f) = \dim {\mathbb R}_n[X]-\dim {\mathcal Im}(f) =\dim {\mathbb R}_n[X]-\dim {\mathbb R}_{n-1}[X]=1

Or P_0 \in {\mathcal Ker}(f)\; {\rm et } \;P_0\neq 0
donc

                       \large {\mathcal Ker}(f)=Vect(P_0)

Posté par titimarion (invité)re : ex avec polynomes 02-03-05 à 23:24

Salut
les premières questions que tu as trouvé c'est bon
ensuite pour 1 tu peux remarquer que Imf est incluse dans {\mathbb R}_{n-1}[X] car le fait de faire P(x)-P(x-1) enlève le terme prédominant tu n'as qu'a remplacer P par \sum a_iX^i pour t'en rendre compte.
Deplus f(P_k)=k*f(P_{k-1}) donc tu contiens une base de ton ev
ainsi tu as dim(imf)>=n ce qui te permet de conclure car dim{\mathbb R}_n[X]
De plus P appartient à Kerf cela implique P(X)=P(X-1) donc P est constant
c'est ce qui t'es demandé
Pour ce qui est de l'antécédent cela se justifie par la question précèdente comme tu l'as remarqué
Parcontre tu as montré uniquement que Qn+l était antécédents pas que tous les antécédents étaient de cette forme la.
Pour cela il suffit de dire que si r est un autre antécédent alors f(Qn-R)=f(Qn)-f(R)=0 donc Qn-R=l avec l dans R d'après la question précéédente à nouveau.
Pour le 3 l'unique antécédent est de la forme Qn(X)-Qn(0)
tu peux vérifier aisément qu'il vérifie ce qui t'es demandé et que c'est le seul.
Si tu veux plus de détails n'hésite pas.

Posté par
franz
re : ex avec polynomes 02-03-05 à 23:27

2/ oui la justification est bonne pour la première partie (X^m \in {\mathbb R}_{n-1}[X]).


En revanche la fin n'est pas très propre.

Il vaut mieux écrire

Soit Q\in {\mathbb R}_{n}[X] tel que f(Q)=X^m
f(Q)=f(Q_m)\;\Longleftrightarrow\;f(Q)-f(Q_m)=0\;\Longleftrightarrow \;f(Q-Q_m)=0\;\Longleftrightarrow \;Q-Q_m\in {\mathcal Ker}(f)\;\Longleftrightarrow \;Q-Q_m\in {\mathbb R}_{0}[X]

Posté par
franz
re : ex avec polynomes 02-03-05 à 23:37

3/
Soit Q_m tel que défini au 2/  et    R_m=Q_m - Q_m(0)

On a R_m(0)=0

Supposons qu'il existe un second polynôme R vérifiant \{ \array{f(R) &= & X^m\\R(0) & = & 0}

D'après la question 2/, \exists l \in {\mathbb R} \; {\rm tel que} \;R=Q_m-l=R_m+Q_m(0)-l
R-R_m=Q_m(0)-l
en prenant la valeur en 0
0=R(0)-R_m(0)=Q_m(0)-l\Longrightarrow l = Q_m(0)

R_m existe et est unique

Posté par
roxane
re : ex avec polynomes 03-03-05 à 20:31

bonsoir!

merci franz et titimarion pour votre aide!
c'est ok j'ai bien compris ce que vous avez fait

la suite de l'ex est la suivante si vous pourriez encore m'aidez svp?


on doit montrer que si m 1 alors (X+1) /Rm et \sumk^m=Rm(n) , k allant de 1 à n .
ca j'ai pas du tout réussi


4)ensuite on sait que pour m {1,...,n-1}, R'm(X)-R'm(X-1)=mX^(m-1)

et on doit en déduire que R'm=mRm-1+R'm(0).
j'ai pas réussi , j'ai juste:R'm(X)=mRm-1(X)-mRm-1(X-1)+R'm(X-1).


puis on sait que Rm(1)=1
soit Sn-1 le polynome tq S'm-1=Rm-1 et Sm-1(0)=0
de plus Rm=mSm-1+(1-mSm-1(1))X

et on doit calculer R1,R2,R3,R4 en utilisant le procédédé de 4) .

mais j'y arrive pas non plus
et enfin on doit en déduire \sumk^m pour m {1,2,3,4} (et n >=m+1)

voilà si vous avez des idées...

merci!

Posté par
franz
re : ex avec polynomes 03-03-05 à 21:21

\forall m\in [[1,n]]\,f(R_m)=X^m=R_m(X)-R_m(X-1)

En prenant la valeur de la fonction polynomiale associée, on obtient
\forall m\in [[1,n]]\,0^m=R_m(0)-R_m(-1)=R_m(-1)=0

\forall m\in [[1,n]]\; -1 \;{\rm est racine de } R_m\;\Longrightarrow\;(X+1)|_{\large R_m}

Posté par
franz
re : ex avec polynomes 03-03-05 à 21:29

\forall k \in {\mathbb R}\;k^m=\[f(R_m)\](k)=R_m(k)-R_m(k-1)

En sommant
\Bigsum_{k=1}^n k^m = \Bigsum_{k=1}^n \(R_m(k)-R_m(k-1) \)=\Bigsum_{k=1}^n R_m(k)\,-\,\Bigsum_{k=0}^{n-1}R_m(k) =R_m(n)-R_m(0)=R_m(n)                     car par définition R_m(0)=0.

Posté par
franz
re : ex avec polynomes 03-03-05 à 21:39

4/

Tu déduis
\forall m \in [[1,n]]\;X^{m-1}=\frac 1 m R_m^'(X)-\frac 1 m R_m^'(X-1) = f(\frac 1 m R^'_m)
D'après la question 2/ \large \exists l\in{\mathbb R}\,{\rm tel que }\frac 1 m R^'_m = R_{m-1}+l

Comme R_{m-1}(0)=0\;,\;l=\frac 1 m R^'_m(0)

Donc en multipliant par m

             \large \forall m \in [[1,n]] \;R^'_m = m R_{m-1}+R^'_m(0)

Posté par
franz
re : ex avec polynomes 03-03-05 à 22:00

Sn-1 le polynome tq S'm-1=Rm-1 et Sm-1(0)=0
de plus Rm=mSm-1+(1-mSm-1(1))X

R^'_m=m S^'_{m-1}+R^'_m(0)
R_m=m S_{m-1}+R^'_m(0)X+c et en prenant la valeur en 0 c=0

R_m=m S_{m-1}+R^'_m(0)X
en prenant la valeur en 1 on obtient 1=R_m(1)=m S_{m-1}(1)+R^'_m(0) soit
R^'_m(0)=1-m S_{m-1}(1)

Donc R_m=m S_{m-1}\,+\,\( 1-m S_{m-1}(1) \)\,X


Posté par
franz
re : ex avec polynomes 03-03-05 à 22:34

R_0(X)=X  (X-(X-1) = 1 = X^0)

\{ \array{S^'0(X) & = & X \\ S_0(0)& = & 0} \; \Longrightarrow S_0=\frac 1 2 X^2

\Large R_1(X) = 1.S_0(X)+\(1-1.S_0(1)\)X = \frac 1 2 X^2+\frac 1 2 X = \frac {X(X+1)}2


\{ \array{S^'1(X) & = & \frac 1 2 X^2+\frac 1 2 X \\ S_1(0)& = & 0} \; \Longrightarrow S_1=\frac 1 6 X^3+\frac 1 4 X^2

\Large R_2(X) = 2.S_1(X)+\(1-2.S_1(1)\)X = \frac 1 3 X^3+\frac 1 2 X^2+(1-\frac 5 6\) X \\ \;\;= \frac 1 3 X^3+\frac 1 2 X^2+\frac 1 6 X = \frac {X(X+1)(2X+1)}6


\{ \array{S^'2(X) & = & \frac 1 3 X^3+\frac 1 2 X^2+\frac 1 6 X \\ S_2(0)& = & 0} \; \Longrightarrow S_2=\frac 1 {12} X^4+\frac 1 6 X^3+\frac 1 {12} X^2

\Large R_3(X) = 3.S_2(X)+\(1-3.S_2(1)\)X = \frac 1 {4} X^4+\frac 1 2 X^3+\frac 1 4 X^2+(1-1\) X \\ \;\;= \frac 1 {4} X^4+\frac 1 2 X^3+\frac 1 4 X^2 = \[\frac {X(X+1)}2\]^2


\{ \array{S^'3(X) & = & \frac 1 {4} X^4+\frac 1 2 X^3+\frac 1 4 X^2 \\ S_3(0)& = & 0} \; \Longrightarrow S_3=\frac 1 {20} X^5+\frac 1 {8} X^4+\frac 1 {12} X^3

\Large R_4(X) = 4.S_3(X)+\(1-4.S_3(1)\)X = \frac 1 {5} X^5+\frac 1 2 X^4+\frac 1 3 X^3+\(1-\frac {31 }{30}\) X \\ \;\;= \frac 1 {5} X^5+\frac 1 2 X^4+\frac 1 3 X^3-\frac {1}{30} X = \frac {X(X+1)(2X+1)(3X^2+3X-1)}{30}








Posté par
franz
re : ex avec polynomes 03-03-05 à 22:35

On termine avec \large \Bigsum_{k=1}^n k^m = R_m(n)

Posté par
roxane
re : ex avec polynomes 04-03-05 à 13:10

bonjour franz! merci encore pour ton aide!
j'ai bien compris ce que tu as fais, c'est très clair!


merci bcp!

Posté par
franz
re : ex avec polynomes 04-03-05 à 20:23

avec plaisir



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