Remarquer d'abord que:
1-zⁿ=(1-z)z^k
On récupère donc juste le module de la somme à gauche.
En appliquant la même formule à droite, on récupère la même somme mais en module.
Comme un module d'une somme est inférieure à la somme des modules cqfd.

J'ai pas les idées claires sur la question 2. Le cas d'égalité de l'inégalité triangulaire est réalisé si il y a colinéarité des vecteurs. Maintenant il faudrait montrer qu'on peut généraliser ce résultat à une somme de plus de 2 termes (c'est le truc qui me semble douteux).
Si l'on a cette propriété, alors tous les z^k doivent être colinéaires. Mais comme 1 fait partie de cette somme, z ne peut se trouver que sur la droite réelle et doit être non nul pour satisfaire la colinéarité. Mais bien sûr on peut rajouter le cas z=0 qui vérifie égalise aussi l'inégalité.

salut keeho,

merci pour ton aide, j'ai tout compris