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Excercice sur les limites
Bonjour, on arrive à la fin du chapitre sur les limites, et je n'ai quasiment rien compris jusqu'ici. Alors pour réviser avant le contrôle, la prof nous donne des exos et là je sèche vraiment, du début jusqu'à la fin... Si vous pouviez me guider, ce serait vraiment sympa.
Voilà l'exercice :
A la suite d'une campagne promotionnelle particulièrement agressive, la société Parabolix a obtenu à partir du 1er décembre le monopole d'implantation des antennes paraboliques dans une ville de province.
On a modélisé l'évolution ultérieure du taux d'équipement des foyers par la fonction définie sur [0 ; +oo[ par f(x)= 70x + 90
x+3
où x désigne le nombre de mois écoulés à partir du 1er décembre, ( f(1) correspondant à la situation du 1er janvier ).
1. a. Quel pourcentage des foyers étaient équipés initialement au 1er décembre ?
Ne suffit il pas de remplacer x par 0 ? Et ça donnerait 30
b. Quel pourcentage des foyers étaient équipés au 1er janvier ?
On remplace par 1 ? Et ça donne 40
Bref, je ne suis déjà pas sûr de mes réponses et la suite je n'ai aucune idée de comment résoudre.
2. Pour tout réel positif x, vérifier que f(x) = 70 - 120/(x+3)
3. Soit C la courbe représentative de f dans un repère orthogonal ( 0;i;j ).
a. Calculer la limite de f en +oo
Donner une interprétation graphique de ce résultat
Que signifie-t-il concrètement pour la société Parabolix ?
b. Calculer la dérivée de f.
En déduire le coefficient directeur de la tangente T à C, au point d'abscisse 0
Quel est le sens de variation de f ?
c. Dresser un tableau de variation de f puis construire C, ainsi que son asymptote et la droite T.
4.a. Déterminer graphiquement à partir de quelle date le taux d'équipement atteindra 60%. Vérifier par le calcul.
b. Si la modélisation est exacte, peut on envisager, dans ces conditions, d'atteindre un taux d'équipement de 80%? Pourquoi ?
5.a. A l'aide d'une calculatrice, dresser le tableau des valeurs de f pour les 12 premiers mois dans la situation décrite.
b. Le comité de direction de Parabolix a programmé la mise en œuvre d'une nouvelle campagne promotionnelle dès que l'accroissement mensuel des implantations sera inférieur à 2% A quelle date aura lieu la mise en œuvre de cette nouvelle campagne ?
Voilà, j'espère que vous pourrez m'aider. Merci à tous et bon week end.
bonsoir,
bon ben allons y ! 
1) a) ok!
b) ok aussi ! ça demarre bien non?
2) il te suffit de partir de 70 - 120/(x+3), mettre tout au même dénominateur et voir que cela redonne f(x).
3) a) utilise la nouvelle formule de f(x)
f(x) = 70 - 120/(x+3)
quand x--> infini, (x+3)--> infini aussi mais 1/(x+3) --> 0 de même que 120 /(x+3)
la limite de f(x) sera donc 70
ce qui nous donne une asymptote horizontale d'equation y = 70
ce qui signifie qu'il va arriver un moment où les foyers équipés stagneront un peu en dessous de 70 ... eh oui! pauv'Parabolix...
b)bon là il faut revoir ton cours sur les dérivées:
on va prendre encore la deuxième formule de f(x) et on dérive chaque morceau
f'(x) = 120/(x+3)²
le coef directeur de la tangente au point d' abscisse 0 est f'(0) ( c'est dans le cours aussi)
donc tu remplaces x par 0 : f'(0) = 120/9 = 40/3
la dérivée de f est toujours positif ( réfléchis bien) et donc f est toujours croissante.
c) je te laisse faire le tableau de variation .
l'asymptote est d'équation y = 70
une calculatrice te donne la courbe.
je continue dans un autre post
voici donc la courbe:
4 a) 60% de 70 = 60*70/100= 42
on cherche donc le x tel que f(x) = 42, on trace donc l'horizontale y = 42 et on trouve x.
pour cela j'ai agrandi un peu le dessin:
on trouve x= 1,3 environ. on sera onc au premier tiers du mois de fevrier.
par le calcul on résout l'équation 70-120/(x+3) = 42 et on trouve x= 9/7
tu essaies de faire la suite?
Merci beaucoup! Bon alors je vais essayer de me remettre dedans et de tout comprendre, sinon, ça servira à rien.
Encore merci, je poste quand j'en suis arrivé à la fin 
C'est désespérant, rien que la 3, je ne comprends pas :s
3) a) utilise la nouvelle formule de f(x)
f(x) = 70 - 120/(x+3)
quand x--> infini, (x+3)--> infini aussi mais 1/(x+3) --> 0 de même que 120 /(x+3)
la limite de f(x) sera donc 70
Bon, dire que x+3 infini, OK, que 120/+oo = 0, OK. Mais pourquoi la limite est70 ?
Non non non non, c'est bon ^^ Faut pas prendre ma réponse en compte -_- Tout simplement en écrivant je viens de me rendre compte de ma bêtise.
allons allons , on se decourage pas ! 
f(x) = 70 -
le terme bleu tend vers 0 donc f(x) tend vers 70 non?
la dérivée de f est toujours positif ( réfléchis bien) et donc f est toujours croissante.
Hmmm, la dérivée de f est croissante parce que son coefficient directeur est supérieur à 0 non ?
Et donc la suite, ça, je m'en souviens
=> f croissante.euh si j'avais écrit "la dérivée de f est toujours positiVE" ça aurait été mieux lol
alors elle est positive parce que le terme (x+3)² est toujours positif puisque c'est un carré
Euh par contre à partir de la 4, je comprends pas trop.
Puisque là, tu calcules les 60% du marché maximum (70%) mais est ce que la question ne parle pas simplement de 60%, sans prendre en compte la réponse qui dit que le pourcentage de foyers équipés ne dépassera pas 70% ???
ben , je suis d'accord avec toi, l'énoncé ne le dit pas...
mais si on garde seulement comme donnée 60% de rien du tout ben ... on ne peut rien faire!
si tu as une autre idée, je suis preneuse !
Bah je pensais simplement à 60% du marché total. Enfin, je sais pas trop comment m'expliquer.
Parce qu'à ce compte là, on peut faire la suite de la même manière, en disant que la courbe y=60 coupe f(x) en ( 3 ; 60 ) donc 60% => 3e mois.
oui je comprends ton idee, mais à la verticale on n'a pas un % du marché , on a un nombre de foyers ...
tu vois?
donc on peut pas tracer y = 60 puisque c'est pas 60 foyers mais 60% ...
Ahhh ce sont des foyers -_- Et mince... Bon je laisse ça en attente, je demanderai à ma prof dès que je la verrai, mais dans ce cas, ton idée doit être la bonne !
PS : dans l'énoncé, on parle bien de taux, or un taux, ça se rapporte pas aux pourcentages ?
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