" dans le repère " : quel est ce repère ?
" avec m réel " : qu'est-ce que  m ?

le repère doit être o;oi;oj
je me suis tromper en n'écrivant c'est le réel p

1. Détermine d'abord les coordonnées des points A et B, puis C et D.

ça j'ai trouver alors pour
A(p;0)
B(1;p)
C(p;1)
D(0;p)

encore merci de votre aide

j'ai aussi les coordonnée des vecteur
AB(1-p;p)
CD(-p;p-1)

C'est juste.
Ecris maintenant que ces deux vecteurs sont colinéaires; cela te donnera la valeur correspondante de  p .

si j'ai bien compris que doit écrire que
(1-p)(p-1)+p2=0 donc p-1-p2+p+p2=0
soit 2p-1=0
2p=1
p=0,5

comment je doit faire pour trouver les vecteur directeurs ???

2) exact.
Les vecteurs AB et CD sont des vecteurs directeurs des droites (AB) et (CD).

donc les vecteur AB et CD sont des vecteur directeur mais comment je le prouve ?

Un vecteur quelconque porté par une droite est un vecteur directeur de cette droite. Par exemple, le vecteur MP est un vecteur directeur de la droite (MP).

merci beaucoup donc pour la question 1 le vecteur directeur de la droite AB est le vecteur AB et ses coordonnées sont (1-p;p)
car un vecteur quelconque porte' par une droite est un vecteur directeur de cette droite  ainsi je répond la même chose pour la droite CD.
et la valeur de p pour laquelle les droite sont parallèles c'est 0,5
mais pour la suite est ce que je peux avoir de l'aide pour trouver le point N.  
en tout cas merci encore car je comprend mieux

Le vecteur AB est un  (et non "le") vecteur directeur de la droite AB. Par exemple, les vecteurs 2AB ou AB/3 sont aussi des vecteurs directeurs de cette droite.
3. Pour répondre, détermine d'abord une paire d'équations pour les droites (AB) et (CD), qui te permettront de calculer les coordonnées du point d'intersection de ces deux droites.

une paire d'équation ? pourrais je avoir de l'aide  je comprend pas très bien

La droite (AB) est définie par les points A et B par lesquels elle passe et dont les coordonnées ont été calculées.
On pose alors que  y = ax + b  est équation de la droite.
Pour obtenir cette équation, on écrit que la droite passe par le point A, puis par le point B . Cela donne un système de deux équations à deux inconnues (a et b), à résoudre pour calculer  a  et  b .

mais comment interpréter le p
différent de 1/2 est ce que je dois l'utiliser ??

Oui, il faut utiliser  p . Tous les résultats que tu dois trouver dépendront de  p .

est ce que vous pouvez me mettre sur un début de piste parce que j'essaie depuis un moment et je ne trouve toujours rien
merci

Tu n'as jamais déterminé d'équation de droite selon mon message de 17h47 ?
Prenons la droite (AB)
L'équation générale d'une droite est  y = ax + b .
La droite correspondante devant passer par les points A et B, on écrit que les coordonnées de ces points vérifient l'équation ci-dessus.
Elle passe par le point A(p; 0)  --->  0 = ap + b .
Elle passe par le point B(1; p)  --->  p = a*1 + b .
On obtient ainsi un système de deux équations
ap + b = 0
a + b = p
qu'on résout pour trouver les expressions de  a  et  b  en fonction de  p .
Puis on replace, dans l'équation  y = ax + b , a  et  b  par ces expressions, ce qui donne une équation de la droite (AB), laquelle dépend de  p .

d'accord je vois merci alors si mon calcul est bon je trouve
pour a =p-b et pour b =-ap
ce qui donne y=p-bx +(-ap)

Non. L'équation finale ne doit contenir que x, y et p .
Il faut résoudre le système de deux équations pour obtenir  a  et  b  en fonction de  p  et remplacer, dans l'équation  y = ax + b , a  et  b  par leurs expressions en fonction de  p .

je vois alors on prend p=1/3 qui est différent de 1/2 et M(x;y) appartenant à (AB)
AM(x-1/3;y) et AB(2/3;1/3)
la condition de colinearité
1/3(x-1/3)-2/3y=0
(x-1/3)-2y=0 ——->x-2y-1/3=0 ——>3x-6y-1=0

je recommence avec les vecteur CD et DM
enfin je calcule le point N qui est la solution du système
3x-6y-1=0
-6x+3y-1=0

Pourquoi prends-tu  p = 1/3 ?

il ne faut pas prendre une valeur différente de 1/2??

Il n'y a pas lieu de donner une valeur précise à  p . On doit seulement se souvenir que  p  ne doit pas être égal à 1/2 .

ah d'accord mais bon j'y arrive pas

As-tu résolu le système d'équations de 20h56 ?

non je n'y arrive pas malheureusement

ap + b = 0   (1)
a + b = p    (2)

Résolution par substitution :
On déduit de l'équation (2)
b = p - a
et on substitue, dans l'équation (1),  p - a  à  b :
ap + (p - a) = 0
D'où  
a = . . . .

alors si mon calcul est bon a = -(p-a)/p

Cela ne donne pas l'expression de  a  en fonction de  p , car  a  figure dans les deux membres de ton égalité.
Il fallait d'abord isoler a .

comment isoler a s'il apparaît deux fois dans l'egalité

ap + p - a = 0
a(p - 1) + p = 0)
a = - p/(p - 1)
Voilà.

merci beaucoup ça m'aide beaucoup
donc l'équation est y=-p/(p-1)x+p-a
et à partir de cela comment' je calcule les coordonnée du point d'intzrsection N?
encore merci de votre aide

Oui, mais si  b  est bien égal à  p - a , il faut l'exprimer aussi exclusivement en fonction de  p .

exclusivement en fonction  de p ? donc faire
-p=-a-b ?

b = p - a . Il suffit de remplacer  a  par son expression en fonction de  p .

ahhhh d'accord

y=-p/(p-1)x+p-(-p/(p-1)

Non; c'est dans  b = p - a  qu'il faut remplacer  a  par son expression en fonction de  p  (22h51) afin d'obtenir  b  aussi en fonction de  p .

b= p2/p-1 ?

C'est juste si tu écris avec les parenthèses nécessaires
b = p²/(p - 1) .

oui merci et comment de cette équation je trouve le point N ?

Ce n'est pas une équation, mais seulement l'expression de  b  en fonction de  p .
a  et  b  ont ainsi été calculés en fonction de  p .
Tu pourrais maintenant relire mon message de 20h56.

d'accord on a trouver l'expression de  a et b en fonction de p
ce qui donne l'équation de la droite (AB) en fonction de p
y=-p/(p-1)x+p2/(p-1)

D'accord.
Maintenant il faut faire la même chose pour la droite (CD). Comme le calcul est analogue, j'espère que tu pourras le faire sans aide.

alors est ce que c'est bon , pour la droite (CD) on prend le point C (p;1) —>1=cp +d
et le point D(0;p) —>p=c*0+d

Oui (l'équation initiale de la droite étant  y = cx + d).
Continue.

1) cp+d=1 —>cp+p=1
                               c(p-1)+p=1
                               c=1-p/(p-1)
2) c*0+d=p —>d=p-0

Oui. D'où
d = . . .
c = . . .