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Exemple d'analyse combinatoire

Posté par
kaizokun
14-08-18 à 22:34

Bonjour, je tente de comprendre un exemple d'un bouquin sur les probabilités, ici il s'agit d'analyse combinatoire. Il s'agit donc d'un exemple et non d'un exercice. Mais je cale sur une partie de l'explication dont vous me direz ce que vous en pensez .

l'exemple est en bleu que j'ai entrecoupé de mes interrogations et réflexions en noir car l'exemple est assez long.

Exemple :


n machines composées de deux parties appelées respectivement émetteur et récepteur
sont transportées en mettant d'un côté les n émetteurs et de l'autre les n récepteurs.

À l'arrivée, un opérateur ré assemble les émetteurs aux récepteurs sans savoir qu'en fait
chaque couple (émetteur, récépteur) avait été réglé au départ pour fonctionner ensemble
(ils avaient été appariés). On se propose de chercher la probabilité que l'opérateur n'ait
reconstitué aucun des couples initiaux.

Pour effectuer le remontage, l'opérateur va prendre successivement les németteurs ;
numérotons ces n émetteurs de 1 a n selon l'ordre choisi par l'opérateur.

Numérotons les récepteurs pour que le numéro d'un récepteur soit le même que
celui de l'émetteur auquel il était initialement couplé. Notons une éventualité
par le n-uple (i1, i2, ...,ij, ...,in) où ij est le numéro du récepteur initialement
couplé au jème émetteur choisi par l'opérateur.

Face a cet ordre des émetteurs, l'opérateur a n! façons équiprobables d'associer
les n récepteurs. Comme il a une seule façon de choisir les n récepteurs pour reconstituer
les n matériels initiaux, notons au passage que la probabilité de reconstituer les n matériels
initiaux est égale a 1/!n.

Soit Bj l'événement « l'opérateur a couplé l'émetteur j au récepteur initial (ij = j) ».

Par symétrie, une éventualité sur n sera telle que ij = j. Comme toutes les éventualités
sont équiprobables, la probabilité de l'événement Bj est égale a 1/n.

Soit E(n) l'ensemble des éventualités correspondant a l 'événement
<< l'opérateur n'a reconstitué aucune des paires initiales ». Les éventualités étant
toutes équiprobables, il s'agit de trouver la cardinalité de E(n) et de diviser par n!
pour obtenir la probabilité cherchée.


Quand on nous parle des éventualité de E(n) on nous parle bien de toutes les combinaisons de taille  n
de récepteur et émetteurs incompatibles. par exemple si  n vaut 3 une éventualité de E(n) donnerait :
pour des couples (emetteur, récepteur)  {(2,1), (3,2),(1,3)}. Par contre  {(2,1), (1,2),(3,3)} ne fonctionne pas.

ensuite l'exemple développe une récurrence pour calculer E(n)


Pour n > 2, notons E (n,j) l'ensemble des éventualités de E(n) telles que l'opérateur
a connecté le récepteur de l'émetteur j a l'émetteur n.
Remarquons que (E(n,j)) pour j={1,...,(n-1)} est une partition de E(n).


Bon déjà cette partie ci, on nous dit pour n > 2 (pourquoi ?..),
on ne comprend pas non plus de quoi est composé ce fameux ensemble  E (n,j).
En faisant quelques essais, si je prend par exemple n   [3 - 4]
et j [1 - 4] ça donnerait pour l'ensemble des couples (n,j) :

n = 4 : (4,1) (4,2) (4,3)
n = 3 : (3,1) (3,2) (3,4)

eventualités :

(4,1) (3,2)
(4,1) (3,4)
(4,2) (3,1)
(4,2) (3,4)
(4,3) (3,1)
(4,3) (3,2)
(4,3) (3,4)


Notons E(n,j,I) l'ensemble des éventualités de E(n,j) telles que l'opérateur a connecté
le récepteur de l'émetteur n a l'émetteur j. Désignons par E(n,j,Î) les autres éventualités de E(n,j) :


connecter le récepteur de l'émetteur n a l'émetteur j ? ici, selon mon exemple, je pense qu'on nous parle des récepteur 3, 4 couplées aux émetteur 3, 4 on aurait donc selon moi :

E(n,j,Î) : ((4,1) (3,2)), ((4,1) (3,4)), ((4,2) (3,1)), ((4,2) (3,4)), ((4,3) (3,1)), ((4,3) (3,2))
E(n,j,I) : ((4,3) (3,4))


E(n,j,Î) = E(n,j)\E(n,j,I).

Ici, on a utilisé une nouvelle notation. De façon générale, la notation A\B qui désigne
les éventualités de l'événement A non comprises dans l'évènement B.
Le nombre d'éventualités de E(n,j,I) correspond au nombre de façons de connecter les
(n-2) émetteurs restants (en écartant les numéros j et n) aux (n-2) récepteurs,
initialement réglés avec ces (n-2) émetteurs, sans reformer aucun couple initial. Ce nombre est égal à |E(n-2)|.


E(n-2) c'est bien le même événement avec un sous ensemble constitués de n-2 emetteurs et n-2 récepteur, soit en reprenant mon exemple ou n vaut au maximum  4, ça donne E(2) qui comprend ((1,2), (2,1)) et la cardinalité est la même.

Après on nous dit (en écartant les numéros j et n), euuuh... ouhais ?! enfin non ... plutôt non ... Si vous comprenez ce qu'ils ont voulu dire je suis preneur


Pour les éventualités de E(n,j,Î), l'émetteur j peut être associé à tout récepteur sauf le récepteur de n (et de j qui par définition est associé à, l'émetteur n). Le nombre d'éventualités est égal à la cardinalité de E(n—1).


Ici je ne comprend pas le rapport entre E(n,j,Î) et E(n-1)

pour E(n-1) toujours avec n = 4 ça devrait donner deux éventualités  

récepteurs : (r1,r2,r3) et émétteurs : (e1,e2,e3)

(e3,r1) (e2,r3) (e1,r2)
(e3,r2) (e2,r1) (e1,r3)

alors que dans E(n,j,Î) précédemment développé j'ai 6 éventualités.


On a donc :

|E(n,j,I)| = |E(n - 2)|
|E(n,j,Î)| = |E(n - 1)|

soit

|E(n,j)| = |E(n - 2)| + |E(n - 1)|


à partir de là l'exemple continue à développer la partie récursive. Je ne l'ai pas mis car pour l'instant j'ai déjà du mal à comprendre cette première partie. Les explications sont mot pour mot ce que j'ai dans mon livre j'ai vérifié si il n'avait pas d'erreur de retranscription.

Merci d'avance à ceux et celles qui m'aideront.

Posté par
flight
re : Exemple d'analyse combinatoire 15-08-18 à 10:35

salut

pour faire plus simple il s'agit de calculer le nombre de dérangement ( aucun point fixe)
si on a n émetteurs  et n récepteurs  la proba ne d'avoir aucun récepteur associé a son émetteur est   P = Dn / n!    ou Dn est le nombre de derangements  
Dn=n! (-1)k/k!     k compris entre 0 et n

pour te documenter voir ici :

Posté par
flight
re : Exemple d'analyse combinatoire 15-08-18 à 10:46

le calcul d'arriere plan qui permet d'arriver à cette formule par de la generalisation de
P(aucun recepteur associé à son emmeteur )   si on note (non ri) le recepteur ri et n'est pas associé à son emetteur (ei)  et on calcul donc

P(nonr1 nonr2 ....non rn)=1- P( r1 u r2 u r3 u.......u rn) =..... de là , formule du crible

Posté par
kaizokun
re : Exemple d'analyse combinatoire 16-08-18 à 16:38

Merci , mais je cherche avant tout à comprendre le développement de l'exemple à différentes étapes. L'exemple est un peu long est assez mal expliqué vous ne trouvez pas ?

Posté par
kaizokun
re : Exemple d'analyse combinatoire 17-08-18 à 16:54

Bon j'ai tenté de relire les explication en tout cas celle ci :

Pour n > 2, notons E (n,j) l'ensemble des éventualités de E(n) telles que l'opérateur
a connecté le récepteur de l'émetteur j a l'émetteur n.
Remarquons que (E(n,j)) pour j={1,...,(n-1)} est une partition de E(n).
Notons E(n,j,I) l'ensemble des éventualités de E(n,j) telles que l'opérateur a connecté
le récepteur de l'émetteur n a l'émetteur j. Désignons par E(n,j,Î) les autres éventualités de E(n,j) :

E(n,j,Î) = E(n,j)\E(n,j,I).

Ici, on a utilisé une nouvelle notation. De façon générale, la notation A\B qui désigne
les éventualités de l'événement A non comprises dans l'évènement B.
Le nombre d'éventualités de E(n,j,I) correspond au nombre de façons de connecter les
(n-2) émetteurs restants (en écartant les numéros j et n) aux (n-2) récepteurs,
initialement réglés avec ces (n-2) émetteurs, sans reformer aucun couple initial. Ce nombre est égal à |E(n-2)|.


Et rien à faire on n'y comprend rien , ce sera pas faute d'avoir essayé mais je dois en conclure que l'explication est mal détaillé ou mal expliqué et malheureusement on n'est pas dans la tête de l'auteur qui pour le coup à eu du mal a se mettre dans celle des lecteurs. Tant pis !



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