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Niveau maths sup
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exemple de familles echelonnees

Posté par
Yosh2
06-04-21 à 10:52

bonjour
je sais que toute famille échelonne est libre , cependant je ne connais que 2 exemples de tels familles:
1- une famille de n-uplets comme celle ci
(a,a,g,0,0,0)
(e,i,f,k,l,0,0)
(o,m,c,e,t,0)
(z,r,x,y,d,i,z)

2- une famille de polynômes échelonnes en degré

et je trouve ces deux exemples sont suffisamment différents pour m'empêcher de remarquer une règle generale pour créer mes propres exemples.
pourriez vous m'en donner d'autres exemples de familles échelonnes?
merci

Posté par
GBZM
re : exemple de familles echelonnees 06-04-21 à 12:01

Bonjour,

Il faut bien sûr s'être fixé une base : la base canonique dans \R^n, la base des monômes dans K[X]_d ...
Une famille échelonnée, c'est une famille telle que la matrice dont les colonnes sont les  coordonnées des vecteurs de la famille dans la base choisie est échelonnée suivant les colonnes, et sans colonne nulle.

Par exemple, pour la base des polynômes d'interpolation de Lagrange en 0,1,\ldots d, la famille (P_i) des polynômes de degré \leq d tels que P_i(j)=0 si j<i et P_i(j)=1 si i\leq j (pour i,j\in \{0,1,\ldots,d\}) est échelonnée, donc libre.

Posté par
Yosh2
re : exemple de familles echelonnees 06-04-21 à 21:28

bonsoir
étant au début des espaces vectoriels on n'a pas encore vu les matrices ( je tacherais de revenir a votre exemple une fois cela fait) , auriez d'autres exemples faisant intervenir des suites , des solutions d'équations différentielles , des fonctions....?
merci a vous

Posté par
lafol Moderateur
re : exemple de familles echelonnees 06-04-21 à 22:53

Bonsoir
quand j'étais en math sup, on nous faisait apprendre ce qu'était une famille (u_1, u_2, \dots,u_n) échelonnée par rapport à la famille libre (e_1,e_2, \dots, e_n) : il existe des scalaires a_{i,j} avec pour tout i entre 1 et n, a_{i,i}\neq 0, tels que :

u_1 = a_{1,1}e_1
 \\ u_2 = a_{2,1}e_1+a_{2,2}e_2
 \\ u_3 = a_{3,1}e_1+a_{3,2}e_2+a_{3,3}e_3
 \\ \vdots
 \\ u_n = a_{n,1}e_1+a_{n,2}e_2+a_{n,3}e_3+\dots + a_{n,n}e_n

Posté par
lafol Moderateur
re : exemple de familles echelonnees 06-04-21 à 22:57

et on avait une liste de neuf résultats à connaitre sur les familles libres et liées (dont "toute sous-famille d'une famille libre est libre", "une famille d'un seul vecteur est liée ou libre selon que ce vecteur est le vecteur nul ou non"...) qui se terminait par " toute famille échelonnée par rapport à une famille libre (et là il y avait deux points et l'explication que j'ai mise dans le post précédent) est libre"



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