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Exercice 1 du Bac Blanc d'Olive

Posté par
Tigweg Correcteur 19-04-09 à 13:29

Bonjour,

suite à une demande de bill159, voici cet exercice!

Bon courage à tous ceux qui s'y intéresseront



On définit, pour tout entier naturel n\ge 1, l'intégrale:

4$I_n=\Bigint_o^2 \ \fr{1}{n!}(2-x)^ne^x

\fbox{1.} Calculez 4$I_1 .

\fbox{2.} Etablir que pour tout entier naturel n\ge 0 :

4$O\le I_n\le \fr{2^n}{n!}(e^2-1)

\fbox{3.} A l'aide d'une intégration par parties montrer que pour tout entier naturel 4$n\ge 0 :

4$I_{n+1}=I_n-\fr{2^{n+1}}{(n+1)!}

\fbox{4.} Démontrez par récurrence que :

4$e^2=1+\fr{2}{1!}+\fr{2^2}{2!}+...+\fr{2^n}{n!}+I_n

\fbox{5.} On pose pour tout entier naturel 4$n\ge 0, 4$U_n=\fr{2^n}{n!} :
a) Calculez 4$\fr{U_{n+1}}{U_n} et prouvez que pour tout entier naturel 4$n\ge 3 :

4$U_{n+1}\le \fr{1}{2}U_n

b) En déduire que pour tout entier naturel 4$n\ge 3 :

4$0\le U_n \le \(\fr{1}{2}\)^{n-3}U_{3}

\fbox{6.} Quelle est la limite de la suite 4$(U_n) ? Déduisez-en celle de la suite 4$(I_n)

\fbox{7.} Vérifiez alors que :

4$ e^2=\lim_{x \to +\infty} \ \[1+\fr{2}{1!}+\fr{2^2}{2!}+...+\fr{2^n}{n!}\]

Posté par
bill159Sujet Suites et Intégrales 19-04-09 à 13:34

Bonjour voila un exercice intérressant:
On définit, pour tout entier naturel n\ge 1, l'intégrale:

      4$I_n=\Bigint_o^2 \ \fr{1}{n!}(2-x)^ne^x

\fbox{1.} Calculez [tex ]4$I_1[/tex] .

\fbox{2.} Etablir que pour tout entier naturel [tex ]n\ge 1[/tex] :

       4$O\le I_n\le \fr{2^n}{n}(e^2-1)

\fbox{3.} A l'aide d'une intégration par parties montrer que pour tout entier naturel [tex ]4$n\ge 1[/tex] :

           4$I_{n+1}=I_n-\fr{2^{n+1}}{(n+1)!}

\fbox{4.} Démontrez par récurrence que :

4$e^2=1+\fr{2}{1!}+\fr{2^2}{2!}+...+\fr{2^n}{n!}+I_n

\fbox{5.} On pose pour tout entier naturel 4$n\ge 1, 4$U_n=\fr{2^n}{n!} :
    a) Calculez 4$\fr{U_{n+1}}{U_n} et prouvez que pour tout entier naturel [tex ]4$n\ge 3[/tex] :

              4$U_{n+1}\le \fr{1}{2}U_n

    b) En déduire que pour tout entier naturel 4$n\ge 3 :

              4$0\le U_n \le \(\fr{1}{2}\)^{n-3}U_{n-3}

\fbox{6.}  Quelle est la limite de la suite [tex ]4$(U_n)[/tex] ? Déduisez-en celle de la suite 4$(I_n)

\fbox{7.}  Vérifiez alors que :

          4$ e^2=\lim_{x \to +\infty} \ \[1+\fr{2}{1!}+\fr{2^2}{2!}+...+\fr{2^n}{n!}\]

mes résolutions dans le prochains euh sinon des questions ^^

*** message déplacé ***

Posté par
bill159re : Sujet Suites et Intégrales 19-04-09 à 13:38

dans le première question, il faut calculer I1:

je trouve {I_1}={e^2}-2

*** message déplacé ***

Posté par
bill159re : Sujet Suites et Intégrales 19-04-09 à 13:46

la deuxième question, j'ai pas trouvé comment démontrer...

quelqu'un sait comment s'y prendre?

*** message déplacé ***

Posté par
bill159re : Sujet Suites et Intégrales 19-04-09 à 13:48

c'est bon, on fait sortir le 1/n!

*** message déplacé ***

Posté par
bill159re : Sujet Suites et Intégrales 19-04-09 à 13:53

je veux donc comparer {\left( {2 - x} \right)^n}{e^x} et \left( {2 - x} \right){e^x}
...
j'intègre et j'ai tjs le même sens dans l'inégalité mais comment faire la comparaison ici?

*** message déplacé ***

Posté par
Tigweg Correcteurre : Sujet Suites et Intégrales 19-04-09 à 13:57

Non mais je rêve!!

Tu fais exprès ou quoi bill?!

Tu m'as dit ne pas arriver à poster l'exercice, je t'ai répondu que je m'en occupais, je m'embête à tout recopier, ien que pour toi, et après tu le postes quand même??

Ca s'appelle du multi-post, et aussi du fichage de gu...!

*** message déplacé ***

Posté par
bill159re : Sujet Suites et Intégrales 19-04-09 à 14:00

ah j'ai pas compris mais tu m'a dit que je devais copier ça et enlever les espaces dans [tex ]
j'ai dit que j'arrivais pas à copier le texte d'olive mais le code que tu a posté oui...

désolé il y a eu un malentendu

*** message déplacé ***

Posté par
Tigweg Correcteurre : Sujet Suites et Intégrales 19-04-09 à 14:02

Ce n'est pas moi, mais Olive qui a posté le code...

Bon ok si tu t'excuses, peut-être les modérateurs seront-ils indulgents.

En tout cas, pour éviter le souk, je te propose de continuer l'exercice là où je l'ai posté, car j'ai aussi rectifié l'énoncé: Exercice 1 du Bac Blanc d'Olive

*** message déplacé ***

Posté par
bill159re : Sujet Suites et Intégrales 19-04-09 à 14:03

ah ok j pas lu ton post "bon je le fais"... :s

*** message déplacé ***

Posté par
bill159re : Exercice 1 du Bac Blanc d'Olive 19-04-09 à 14:04

Bonjour, je trouve {I_1} = {e^2} - 2

Posté par
Tigweg Correcteurre : Exercice 1 du Bac Blanc d'Olive 19-04-09 à 14:08

Non, c'est I_0 qui vaut cela.Il est presque nécessaire d'intégrer par parties pour I_1.

Posté par
bill159re : Exercice 1 du Bac Blanc d'Olive 19-04-09 à 14:08

pour la 2 ) je vois pas très bien comment je pourrais faire...

Merci d'avance

Posté par
bill159re : Exercice 1 du Bac Blanc d'Olive 19-04-09 à 14:09

ah ok c pour ça que j'ai eu du mal pour la 2....

Posté par
Tigweg Correcteurre : Exercice 1 du Bac Blanc d'Olive 19-04-09 à 14:11

Non ce n'est pas pour cela que tu as du mal, cette question est indépendate de la question 1.

Indicaton: majore un seul facteur de l'intégrande sur l'intervalle considéré, puis vois comment intégrer la fonction majorante obtenue entre 0 et 2...

Posté par
olive_68re : Exercice 1 du Bac Blanc d'Olive 19-04-09 à 14:11

Pour la 2.

4$x est dans quelle intervalle ?

Part de ça et fais comme en seconde tu faisais en seconde et tu devrais attérir sur le résultat attendu ^^

Posté par
bill159re : Exercice 1 du Bac Blanc d'Olive 19-04-09 à 14:11

ah oui c'est I0 pour n=1 mais quelle confusion...

Posté par
bill159re : Exercice 1 du Bac Blanc d'Olive 19-04-09 à 14:12

un très bon piège...

Posté par
bill159re : Exercice 1 du Bac Blanc d'Olive 19-04-09 à 14:17

je trouve donc I1= 2e^2+8 c'est cela?

Posté par
bill159re : Exercice 1 du Bac Blanc d'Olive 19-04-09 à 14:21

quelques pistes s'il vous plaît.... tjs pour la 2)

Posté par
bill159re : Exercice 1 du Bac Blanc d'Olive 19-04-09 à 14:26

c'est bon j'ai trouvé, il faut multiplier (2-x)^n par 2. 2 supérieur à 0 et on multiplie le tout par (2-x)^n

etc...

Posté par
olive_68re : Exercice 1 du Bac Blanc d'Olive 19-04-09 à 14:26

Lool

\to Non toujours pas pour I_1

Pour la 2. éssayes de t'en sortir pour le moment avec ce que on t'a donné..

Ce n'est pas toujours bénéfique que l'on te donne la réponse tout de suite..
Si tu as une question similaire en contrôle serais tu capables de repenser à faire ça?

Avec ce que on t'a dit tu peux déjà faire quelque chose

Posté par
bill159re : Exercice 1 du Bac Blanc d'Olive 19-04-09 à 14:27

oups c pas vraiment ça

Posté par
olive_68re : Exercice 1 du Bac Blanc d'Olive 19-04-09 à 14:27

Personnelement je ne comprends pas trop ta façon de procéder..

Post peut-être ton calcul

Posté par
bill159re : Exercice 1 du Bac Blanc d'Olive 19-04-09 à 14:28

oui exacte je vais m'en sortir...

Posté par
bill159re : Exercice 1 du Bac Blanc d'Olive 19-04-09 à 14:33

sinon j'ai le droit de partir de la relation sur le brouillon... et ensuite dans la copie je fais à l'envers pour aboutir à la relation?

Posté par
olive_68re : Exercice 1 du Bac Blanc d'Olive 19-04-09 à 14:34

Greg \to pour les n\le 1 transformer en n\le 0, je sur certain parcontre que dans mon bac blanc c'était bien n\le 1 mais c'est vrai que ça marche aussi pour le n\le 0 ..Peut-être ils ont fait ça parce que tout le monde ne sais pas que 0!=1.. ..

Posté par
olive_68re : Exercice 1 du Bac Blanc d'Olive 19-04-09 à 14:35

Oups il faut inverser les symboles ^^

Bah oui toute les méthodes sont bonne tant que ce que tu dis est correct enfin je pense ^^

Parcontre je ne vois pas comment tu veux faire la démarche inverse..

Bon moi je pars en fait .. Je posterais donc plus tard la récurrence

Posté par
bill159re : Exercice 1 du Bac Blanc d'Olive 19-04-09 à 14:37

je trouve toujours pas, juste quelques indices....

Posté par
bill159re : Exercice 1 du Bac Blanc d'Olive 19-04-09 à 14:53

je bloque toujours...

comment faire?

Posté par
bill159re : Exercice 1 du Bac Blanc d'Olive 19-04-09 à 14:59

j'arrive en partant de la relation que:


\int\limits_0^2 {{{\left( {2 - x} \right)}^n}{e^x}} \le {2^n}\left( {{e^2} - 1} \right)


j''ai fait sortir 1/n! et j'ai simplifier...

Posté par
bill159re : Exercice 1 du Bac Blanc d'Olive 19-04-09 à 15:09

bon je laisse ça de côté en attendant que quelqu'un réponde paceke j perdu du temps dessous....

Posté par
bill159re : Exercice 1 du Bac Blanc d'Olive 19-04-09 à 15:34

Citation :
majore un seul facteur de l'intégrande sur l'intervalle considéré, puis vois comment intégrer la fonction majorante obtenue entre 0 et 2...


euh j'ai pas compris...

Posté par
Tigweg Correcteurre : Exercice 1 du Bac Blanc d'Olive 19-04-09 à 15:55

C'est exactement ce que tu as fait à 14h59 pourtant!!

Citation :
\int\limits_0^2 {{{\left( {2 - x} \right)}^n}{e^x}} \le {2^n}\left( {{e^2} - 1} \right)


IL n'y avait plus qu'à diviser chaque membre par n!

Posté par
bill159re : Exercice 1 du Bac Blanc d'Olive 19-04-09 à 16:33

ah ok je sais plus où j'ai mis ma tête, j'ai pas fait exprès de faire ce que tu m'a demandé de faire parceque en fait j'avais pas compris ce que tu a voulu dire mais je l'ai fait quand même sans savoir que c'est ce que tu m'a dit de faire...

donc je trouve le résultat que tu viens de citer et je fais quoi après?

Posté par
bill159re : Exercice 1 du Bac Blanc d'Olive 19-04-09 à 16:35

je dois donc calculer l'intégrale \int\limits_0^2 {{{\left( {2 - x} \right)}^n}{e^x}dx} ?

Posté par
Tigweg Correcteurre : Exercice 1 du Bac Blanc d'Olive 19-04-09 à 16:45

Citation :
donc je trouve le résultat que tu viens de citer et je fais quoi après?


->
Citation :
IL n'y avait plus qu'à diviser chaque membre par n!...

Posté par
bill159re : Exercice 1 du Bac Blanc d'Olive 19-04-09 à 16:50

\int\limits_0^2 {{{\left( {2 - x} \right)}^n}{e^x}dx}

j'ai {\left( {2 - x} \right)^n}{e^x} = 2n{e^x} - nx{e^x}

donc j'obtiens

\int\limits_0^2 {{{\left( {2 - x} \right)}^n}{e^x}dx}= \int\limits_0^2 {2n{e^x}}- \int\limits_0^2 {nx{e^x}}=2n\int\limits_0^2 {{e^x}- n\int\limits_0^2 {x{e^x}} }

et ensuite?

Posté par
bill159re : Exercice 1 du Bac Blanc d'Olive 19-04-09 à 16:52

ah ok je vais voir ça de près...

Posté par
Tigweg Correcteurre : Exercice 1 du Bac Blanc d'Olive 19-04-09 à 16:53

OK Olive, c'est bizarre ce qu'ils ont trafiquoté avec les n de toute façon...idem pour la question 5, ça ne sert strictement à rien le coup du n-3...Ca marchait aussi avec une puissance n et U0!

Posté par
bill159re : Exercice 1 du Bac Blanc d'Olive 19-04-09 à 16:54

en réponse à ton post de 15:55, pour trouver la relation, je suis partie de la relation donnée dans la question...

c illogique si je divise par n! si je viens de le simplifier...

Posté par
Tigweg Correcteurre : Exercice 1 du Bac Blanc d'Olive 19-04-09 à 16:55

Euh bill...Tu es en train de me dire qu'élever un nombre à la puissance n, c'est pareil que de le multiplier par n??

Ton calcul est complètement faux.De plus, je ne sais pas quelle question tu es en train d'essayer de traiter!

Posté par
Tigweg Correcteurre : Exercice 1 du Bac Blanc d'Olive 19-04-09 à 16:56

Comment ça tu viens de le simplifier?

Pour que le premier membre fasse apparaître In, il faut bien le diviser par n!...Donc tu divises chaque membre par n!, et tu obtiens exactement ce qu'il faut prouver!

Posté par
bill159re : Exercice 1 du Bac Blanc d'Olive 19-04-09 à 16:57

j'essaie de traiter la question 2...

Posté par
Tigweg Correcteurre : Exercice 1 du Bac Blanc d'Olive 19-04-09 à 16:58

Il n'y a donc aucun calcul explicite à faire, divise de chaque côté par n!, et c'est réglé!

Posté par
bill159re : Exercice 1 du Bac Blanc d'Olive 19-04-09 à 17:01

oui mais, bon d'accord, je vais détailler les calculs:

je part de la relation donné dans la question...

\int\limits_0^2 {\frac{1}{{n!}}{{\left( {2 - x}\right)}^n}{e^x}dx}\le \frac{{{2^n}}}{{n!}}\left( {{e^2} - 1} \right)

\frac{1}{{n!}}\int\limits_0^2 {{{\left( {2 - x}\right)}^n}{e^x}dx}\le \frac{{{2^n}}}{{n!}}\left( {{e^2} - 1} \right)

\int\limits_0^2 {{{\left( {2 - x}\right)}^n}{e^x}dx}\le {2^n}\left( {{e^2} - 1} \right)

Posté par
bill159re : Exercice 1 du Bac Blanc d'Olive 19-04-09 à 17:04

j'ai toujours pas compris

Citation :
majore un seul facteur de l'intégrande sur l'intervalle considéré, puis vois comment intégrer la fonction majorante obtenue entre 0 et 2...

Posté par
Tigweg Correcteurre : Exercice 1 du Bac Blanc d'Olive 19-04-09 à 17:06

Quoi??MAis tu raisonnes à l'envers là!!

Tu n'as rien prouvé du tout! Je croyais que tu avais déjà prouvé la dernière ligne!

Bon reprenons: Majore indépendamment de x le facteur \fr{{(2 - x)}^n}{n!} sur l'intervalle [0;2].

Posté par
bill159re : Exercice 1 du Bac Blanc d'Olive 19-04-09 à 17:10

une question un peu bête: comment majorer?

Posté par
Tigweg Correcteurre : Exercice 1 du Bac Blanc d'Olive 19-04-09 à 17:25

Commence par majorer 2-x sur [0;2], c'est vraiment du niveau Seconde!!

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