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Exercice 2 étoiles : tres dur équations symétriques :d
On veut résoudre l'équation (E):
2x puissance4 -9x puissance3 + 14x²(puissance2) - 9x + 2 = 0
a) Vérifier que 0 n'est pas solution et établir que l'équation
(E) équivaut à l'équation (E1) :
2(x²+(1/x²)) - 9(x+(1/x)) + 14 =0
b)On pose u= x +(1/x).Calculer u².
Etablir que l'équation (E1) équivaut à :
u = x+(1/x) et 2u² - 9u +10 = 0
c) Résoudre dans R l'équation 2u² - 9u + 10 = 0
En déduire les solutions de l'équation (E).
d) Adapter la méthode pour résoudre:
x puissance4 + x puissance3 - 4x² + x +1 = 0
Merci de répondre a cette exercice que je narrive pas a résoudre !
Il suffit de s'y prendre correctement:
1°) en remplacant x par 0 dans l'équation tu constates qu'elle
n'est pas vérifiée, tu aboutis à 0=-2 ! Donc 0 n'est pas
solution de (E).
Si 0 n'est pas solution, alors tu peux simplifier (E) par x². (cette
vérification est essentielle car "diviser par 0" n'a pas de
sens
alors (E) devient EQUIVALENTE à :
2x² -9x+14- 9/x+2/x² =0
l'equivalence est importante : cela signifie que l' ensemble des solutions
de ta "nouvelle" équation est le meme que celui de (E).
ensuite tu factorises par 2 et -9 et tu obtiens l'équation demandée.
2(x²+1/x²)-9(x+1/x) +14 =0 (A)
2°) Il s'agit d'un changement de variable malin :
tu remarques que u²=(x² + 1/x²) +2
tu remplaces dans (A) , (x+1/x) par u et (x²-1/x²) par (u²-2) ,
tu calcules un peu et tu arrives (en 1 ligne et demi c simplissime)
à :
2u²-9u+10 =0
3°)Tu résous cette équation banale :
2 solutions réelles : {5/2, 2}
maintenant tu connais les valeurs que peut prendre u et tu connais le lien entre
u et x par :u=x+1/x
donc 2=x+1/x et 5/2=x+1/x
tu multiplies ces 2 equations par x et tu aboutis à
x²-2x + 1=0 et x²-(5/2)x +1=0
tu les résous et comme tu as travaillés par systemes équivalents tu
es sur que ces solutions sont bien celles qui vérifient (E).
Voila, j'espère que je t'ai aidé et à titre indicatif l'ensemble
des solutions est :
{2,1,1/2}
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