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Exercice 2 : Sécurité routière
Bonsoir, j'ai eu quelques difficulté à résoudre la question 1B dans l'exercice présent. J'aurais vraiment besoins d'aide, car cette question est cruciale pour le reste de l'exercice. Je vous remercie encore d'avance quant à votre réponse, je galère depuis près de 4 heures, assez long pour une simple question... Merci beaucoup 
Exercice 2 : Sécurité routière
Lors d'une soirée, Arthur a bu à jeun une certaine quantité d'alcool. On s'intéresse à son taux d'alcool dans le sang, exprimé en g.L-1, en fonction du temps t, exprimé en heures.
Comme il faut un certain temps pour que le corps absorbe l'alcool, on peut modéliser son taux d'alcool par une fonction f définie sur [0,05; +[.
On admet que f est solution de l'équation différentielle (E) : y' = -y + ke(-t), où k est une constante positive qui dépend de la quantité d'alcool absorbée et de la corpulence de l'individu.
1) a) Exprimer, en fonction de k, le nombre réel a tel que la fonction g définie sur [0 ; +∞[ par g(t) = ate(-t) soit une solution particulière de (E).
b) En déduire l'expression de f(t) en fonction de k.
2) Etudier le sens de variation de la fonction f et vérifier qu'il ne dépend pas de k.
3) Au bout de 3 heures, Arthur teste son alcoolémie et obtient un taux égal à 0,8 g.L-1.
Sachant que Arthur est un jeune conducteur et que, selon la loi française, le taux maximal autorisé pour les jeunes conducteurs est de 0,2 g.L-1, combien de temps devra-t-il encore patienter pour pouvoir prendre le volant et rentrer chez lui ? On donnera un résultat à la minute près, on pourra utiliser la méthode par balayage pour trouver une valeur approchée du résultat.
Salut,
Tu dois avoir dans ton cours une règle permettant d'obtenir toutes les solutions d'une équa-diff du type y' = ay + f , non ?
Oui, bien sur, mais c'est la question qui demande d'exprimer f(x) en fonction de k qui me perturbe, je ne comprend pas le sens de la question, pour la question 1a. J'ai pu déterminer que g(t) correspondait bien une fois dérivée en g'(t) à la formule du cours : y' = y + phi (ici -> kte(-t))
Yzz
Oui, bien sur, mais c'est la question qui demande d'exprimer f(x) en fonction de k qui me perturbe, je ne comprend pas le sens de la question, pour la question 1a. J'ai pu déterminer que g(t) correspondait bien une fois dérivée en g'(t) à la formule du cours : y' = y + phi (ici -> kte(-t))
Tu as donc une solution particulière de (E) : c'est la fonction g trouvée à la question 1a).
Donc pour 1b) : toutes les solutions de y' = -y , plus g(t) ...
* Edit *
Yzz
D'accord, mais du coup, est-ce que l'on peux aussi simplement amener la chose, je m'était dis qu'il fallait une justification, mais je ne savais pas si la justification de la question d'avant suffisait déjà ?
Merci encore, je vous remercie infiniment, la réponse était assez simple
Yzz
Juste, petite question en lien toujours avec ma question, je comprend le lien, mais je me demande ou est le lien avec la constante k... ? Elle n'est pas présente dans g(t) mais dans g'(t) ? Alors comment justifier ?
Salut Sylvieg
Merci pour la rectif ; tu peux bien sûr le faire sur le message précédent.
Pixem17 : oui, tu peux y aller direct, c'est une propriété du cours.
Yzz
J'ai pu déterminer que nous avions :
y'=-y+ke^(-t)
Nous savons que g(t)=ate^(-t)
Nous pouvons donc dérivée g(t)
u=at
v=e^(-t)
u'=a
v'=-e^(-t)
Je dérive et arrive à cela :
g' (t)=-ate^(-t)+ae^(-t) <=> y'=-y+ke^(-t)
On remarque directement le lien entre y' et g'
Yzz
Du coup, je me demandais si je n'avais pas omis un détail dans la question 1a) comme vous le pensiez ?
Je réponds en l'absence de Yzz.
Tu as omis un détail : répondre à la question posée.
Exprimer, en fonction de k, le nombre réel a
Mince j'était persuader qu'en expliquant comment g'(x) pouvait être ramener à y', on l'exprimait en fonction de k, puisqu'y' est défini avec la constante k
Tout ça c'est du blabla incompréhensible.
(E) : y' = -y + ke(-t)
1) a) Exprimer, en fonction de k, le nombre réel a tel que la fonction g définie sur [0 ; +∞[ par g(t) = ate(-t) soit une solution particulière de (E).
Ta réponse ?
Bonsoir. J ai du mal pour la question 2. En fait j'ai l impression d avoir une erreur dans ma dérivée de f mais je la trouve pas je sais que après je dois factorisé par k puis faire le tbs.
La q3 me gêne bcp aussi.
Merci d avance.
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