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exercice
BONJOUR MERCI POUR VOTRE AIDE
1-le but du jeu
Les cosinus sinus et tangentes des angles 60° 30° et 45° peuvent s'écrire sous forme d'une valeur exacte. Nous allons tout simplement essayer de trouver ces valeurs.
II- L'angle de 60°
Soit un triangle ABH rectangle en H tel que ^ ABH= 60° On notera a la distance AB
1°/ Soit I le milieu de [AB]
a) Démontrer que BIH est un triangle équilatéral
b) Exprimer BH en fonction de a
c) En déduire que cos (60°) = 1 /2
2°/ a)Montrer que AH= √3/2 a
b) En déduire une valeur exacte de sin (60°)
3° / Donner la valeur exacte de tan (60°)
III- l'angle 30°
Soit un triangle MNP rectangle en N tel que ^ MPN=30°
1°) calculer l angle PMN
2°) démontrer les trois égalités suivantes
a) Cos (30°)= sin (60°)
b) Sin (30°) =cos (60°)
c) Tan (30°)= 1 / tan (60°)
3°) En déduire en utilisant les résultats de la partie II les valeurs exactes de cos (30°)
Sin (30°) et Tan (30°)
IV) soit ABC un triangle rectangle en A tel que ^ABC =45°
1-Montrer que AC=a
2 Exprimer BC en fonction de a
3-en déduire les valeurs exactes de cos 45° sin 45° ET tan 45°
V) placer ces 9 résultats dans ce tableau
COS SIN TAN
30°
45°
60°
MERCI POUR VOTRE AIDE VOICI CE QUE J AI FAIT :
1)
a-le triangle ABH est rect en H,
I est le milieu de [AB] , AI=IB=a/2 et (AI) est la médiane issue de l'angle droit d' un triangle rectangle, donc AI=AB/2=a/2
le triangle IBH a deux côtés =, c'est un triangle isocèle
Dans un triangle isocèle les angles à la base sont =, IHB=IBH=60°
HIB=180°-(60*2)=60°
le triangle IBH est équilatéral
b- ABH rectangle en H :
cos ABH=HB/AB
c-cos60°=(a/2)/a=1/2
2)ABH ret en H, d'après Pythagore :
AB²=AH²+HB²
AH²=AB²-HB²
AH²=a²-(a/2)²=a²-a²/4=3a²/4
AH>0, AH=V(3a²/4)=a/2*V3
sin ABH=sin 60°=AH/AB=[a/2*V3]/a=aV3/2a=V3/2
3) tan 60°=sin60°/cos60=(V3/2)/(1/2)=V3
exo 2 :
1)dans un triangle rectangle, les 2 angles aigus sont complémentaires
PMN=90°-30°=60°
2) quand 2 angles sont complémentaires, alpha +bêta=90°, alors
cos alpha = sin bêta, cos30°=sin60°=V3/2=1/V3=V3/3
sin alpha = cos bêta, sin 30°= cos 60°=1/2
tan alpha=1/tan bêta, tan 30°=1/tan 60°
si tu ne connais par cette propriété :
cos PMN=cos 60°=MN/MP
sin MPN=sin 30°=MN/MP
cos 60°= sin 30°
sin PMN=sin 60°=NP/MP
cos MPN= cos 30°=NP/MP
sin 60°=cos 30°
tan PMN=tan 60°=NP/MN
tan MPN=tan 30°=MN/NP
tan 60°=1/tan 30°
exo 3 :
1)ABC triangle ret en A, AB=a
ABC et BCA complémentaires, ABC=45°
ABC triangle dont les angles à la base sont =, donc il est isocèle, AB=AC=a
2)d'après Pythagore :
BC²=AB²+AC²
BC²=a²+a²=2a²
BC>0, BC=aV2
cos ABC=cos 45°=AB/BC=a/aV2=1/V2=V2/2
cos ACB=cos 45°=AC/BC=a/aV2=1/V2=V2/2
tan 45°=sin 45°/cos 45°= (V2/2)/ (V2/2) =1
Dans le tableau, il est intéressant de noter (et cela , je pense, facilite la mémorisation) que l'on a , sur la ligne des sinus :
sin(0) = (racine de 0) / 2
sin(30) = (racine de 1) / 2
sin(45) = (racine de 2) / 2
sin(60) = (racine de 3) / 2
sin(90) = (racine de 4) / 2 .
Donc pour la ligne des sinus, on écrira ces mêmes résultats, mais de la droite vers la gauche. J-L
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