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Exercice arithmétique
Posté par kekeyo1 (invité)
Bonjour, j'aurais besoin d'un petit coup de pouce pour cet exercice...
On veut démontrer qu'il existe une infinité de nombres premiers p de la forme p=4m+3
On va pour cela raisonner par l'absurde en supposant qu'il existe un naturel n tel que les seuls nombres premiers de vette forme sont 3, 7, 11, ...., 4n+3
Soit le nombre b= 4a-1, où a = 3x7x...x (4n+3)
a. Montrer que les diviseurs premiers de b sont de la forme 4k+1 ou 4k+3 avec k entier.
b. Montrer alors qu'aucun nombre premier de la forme 4k+3 ne peut diviser b.
c. Montrer ensuite que si tous les facteurs premiers de b sont congrus à 1 modulo 4, on aboutit à ine contradiction. Conclure...
Voila, j'ai du mal à percevoir la methode à utiliser. Pourriez vous m'éclairer un peu ?
Merci d'avance
Bonjour,
a. Soit p un diviseur premier de b.
Il y a 4 possibilités :
p = 4k+0
p = 4k+1
p = 4k+2
p = 4k+3
Dans le 1er et le 3ème cas :
(i) soit p=2 ; impossible car b n'est pas pair
(ii) soit p est pair > 2 ; impossible car p est premier
Donc on est nécessairement dans le 2ème ou 3ème cas.
Posté par phacog (invité)re : Exercice arithmétique
Salut,
b. Supposons qu'il existe un nombre premier p de la forme 4k+3 divisant b.
Par définition p divise aussi a, donc p divise b-4a = 1 ce qui est impossible.
c. Si tout les facteurs premiers de b sont congrus à 1 modulo 4, alors leurs produit (càd b) est congru lui aussi à 1 modulo 4, ce qui est absurde car b =4a-1 est congru à 3 modulo 4.
Posté par kekeyo1 (invité)re : Exercice arithmétique
Merci beaucoup pour ces réponses rapides ! A bientot
Pour ma petite part, je t'en prie. 
PS - tu auras corrigé la faute de frappe :
Citation :
Donc on est nécessairement dans le 2ème ou 4ème cas.
Donc on est nécessairement dans le 2ème ou 4ème cas.
Posté par lolo333 (invité)re : Exercice arithmétique
question suivante : montrez qu'il y a une infinité de premier de la forme 6k+5 (histoire de prolonger l'exercice)
Posté par phacog (invité)re : Exercice arithmétique
On le démontre de la même manière :
On suppose qu'il existe un entier n tel que les seuls nombres premier de la forme 6k+5 soit 5, 11, 17,...,6n+5.
On pose a = 5
1117...6n+5 et b = 6a-1.
On montre que les seuls diviseurs premier de b sont de la forme 6k+1 ou 6k+5.
Si b admet un diviseur premier p=6k+5, alors p divise b-6a=1 ce qui est impossible.
Donc tous les facteurs premiers de b sont de la forme 6k+1, donc b est congru à 1 modulo 6 ce qui est absurde car b=6a-1 est congru à 5 modulo 3.
On arrive à une contradiction, l'hypothèse de départ est fausse, il ya donc une infinité de nombre premier de la forme 6k+5.