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Exercice avec une suite

Posté par
klem69
02-11-09 à 17:22

Coucou tout le monde !

J'ai des difficultés à terminer un exercice concernant les suites.
Pourriez-vous m'aider ?

Voici l'énoncé :
Pour tout n appartenant à /N*, on pose :
un = 1/1² + 1/2² + ... + 1/n²
Je dois démontrer que, pour tout n appartenant à /N, un 2 - 1/n (P)

J'ai pensé à faire un raisonnement par récurrence.
- Je démontre que (P) est vrai pour n=1 :
2 - 1/1 = 2 - 1 = 1
1/1² = 1
1 1, donc (P) est vrai pour le premier terme de la suite.

-Je veux ensuite démontrer l'hérédite :
Hypothèse au rang p :
1/1² + 1/2² + ... + 1/p² 2 - 1/p
Conclusion que je dois obtenir au rang p+1 :
1/1² + 1/2² + ... + 1/(p+1)² 2 - 1/(p+1)

1/1² + 1/2² + ... + 1/p² + 1/(p+1)² = 1/k² (de k=1 à p) + 1/(p+1)²

A partir de là, je ne sais plus comment faire...

Posté par
Camélia Correcteur
re : Exercice avec une suite 02-11-09 à 17:30

Bonjour

C'est bon:
\sum_{k=1}^p\frac{1}{k^2}+\frac{1}{(p+1)^2}\leq 2-\frac{1}{p}+\frac{1}{(p+1)^2}=2-\frac{p^2+p+1}{p(p+1)^2}\leq 2-\frac{1}{p+1}

La dernière inégalité vient du fait que p^2+p+1\geq p(p+1)

\frac{p^2+p+1}{p(p+1)(p+1)}\geq \frac{1}{p+1}

Posté par
jeanseb
re : Exercice avec une suite 02-11-09 à 17:37

3$\rm S_p\le 2-\frac{1}{p}
 \\ 
 \\ S_{p+1}= S_p + \frac{1}{(p+1)^2}\le 2-\frac{1}{p}+\frac{1}{(p+1)^2}
 \\ 
 \\ Il reste a demontrer que -\frac{1}{p}+\frac{1}{(p+1)^2}\le \frac{1}{(p+1)

Posté par
jeanseb
re : Exercice avec une suite 02-11-09 à 17:39

Excuse (et Bonjour)

3$\rm 
 \\ 
 \\ Il reste a demontrer que -\frac{1}{p}+\frac{1}{(p+1)^2}\le -\frac{1}{(p+1)

Posté par
Camélia Correcteur
re : Exercice avec une suite 02-11-09 à 17:39

Coucou jeanseb

Posté par
klem69
re : Exercice avec une suite 02-11-09 à 17:41

D'accord, donc je calcule d'abord :
-1/p + 1/(p+1)² = (p - (p+1)²) / (p+1)² = - (p²+2p+1)/ p(p+1)²

Posté par
jeanseb
re : Exercice avec une suite 02-11-09 à 17:44

La dernière inégalité:

3$\rm 
 \\ 
 \\  -\frac{1}{p}+\frac{1}{(p+1)^2}\le -\frac{1}{(p+1)}est equivalente a
 \\ 
 \\ \frac{1}{(p+1)^2}\le \frac{1}{p} - \frac{1}{(p+1)}c'est a dire \frac{1}{(p+1)^2}\le \frac{1}{p(p+1)}

.. ce que tu derais démontrer sans problème...

Posté par
jeanseb
re : Exercice avec une suite 02-11-09 à 17:45

Bonjour Camélia!

Je suis un peu lent...

Posté par
klem69
re : Exercice avec une suite 02-11-09 à 17:49

(p+1)² p(p+1)
donc 1/(p+1)² 1/p(p+1)

Merci, je vais essayer de refaire la démonstration en entier.

Posté par
klem69
re : Exercice avec une suite 02-11-09 à 17:55

J'ai réussi, merci beaucoup à vous deux.

Je dois ensuite démontrer que la suite converge, donc j'utilise le fait qu'elle soit majorée et croissante.
Pour le prouver, je calcule u(n+1) - un et je trouve 1/(n+1)², qui est strictement positif.
Mon résultat est-il juste ?

Posté par
jeanseb
re : Exercice avec une suite 02-11-09 à 18:03

> Camélia
J'ai consulté ta fiche sur les systèmes différentiels: la mise en page est difficile à lire pour les équations des systèmes. C'est dommage! Est-ce exprès , ou est-ce une erreur de  \LaTeX?

Posté par
jeanseb
re : Exercice avec une suite 02-11-09 à 18:04

> Klem: Oui, bien sûr!

Posté par
klem69
re : Exercice avec une suite 02-11-09 à 18:13

Merci
A bientôt !

Posté par
jeanseb
re : Exercice avec une suite 02-11-09 à 18:20



Sais-tu quelle est la (célèbre) limite de ta suite?

Posté par
klem69
re : Exercice avec une suite 02-11-09 à 18:28

Je l'ai sûrement su un jour, mais je ne m'en rappelle plus du tout

Posté par
jeanseb
re : Exercice avec une suite 02-11-09 à 18:36

\frac{\pi^2}{6}...qui est bien inférieur à 2

Posté par
klem69
re : Exercice avec une suite 02-11-09 à 18:41

Ah non, je ne savais pas, et comment fait-on pour la calculer ?

Posté par
jeanseb
re : Exercice avec une suite 02-11-09 à 22:25

Il y a 14 démonstrations recensées...mais assez costauds (plusieurs ont été sujet pour un CAPES il y a un ou deux ans).

A mon avis, c'est encore un peu trop tôt pour toi. Mais j'espère que tu y arriveras bientôt!



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