Bonjour,
j'ai un problème de compréhension du corrigé sur un exercice du bac de Polynésie française de Juin 2015 qui s'appelle "jouons sur les formes".
Z'=z2+4z+3
Determiner l'ensemble C des points M d'affixe z=x+iy où x et y sont réels, tels que le point M' associé soit sur l'axe des réels
Dans la correction j'ai M' est sur l'axe des réels si et seulement si z' est un nombre réel : z' appartient à Img(z')=0
Déterminons la forme algébrique de z'
(x2-y2+4x+3)+i(2xy+4y)
Ainsi 2xy+4y=2(x+2)y=0
x=-2 ou y=0
L'ensemble C cherché est donc la réunion de deux droites d'équations respectives x=-2 et y=0
Mon problème c'est que je n'ai pas compris pourquoi on a laissé de coter la partie réel puisque là on a résolue que la partie imaginaire. Puisque l'on cherche l'ensemble des points d'affixe z associé à z' on devrait prendre en compte toute l'écriture algébrique ?
que veux-tu dire?
Un nombre complexe z s'écrit sous la forme z=x+iy
avec x et y des réels et x étant la partie réelle et iy la partie imaginaire
pour que le point M' soit sur l'axe des réels, il faut nécessairement que sa partie imaginaire, à savoir iy, soit nulle
ici on a : i × 2(x+2)y
il faut donc, pour que M' soit sur l'axe des réels, que 2(x+2)y=0
mais il n'y a pas de condition pour la partie réelle...
____
si on t'avait demandé que M' soit sur l'axe des imaginaires pures, là il aurait fallu t'intéresser à la partie réelle
celle-ci aurait dû être nulle, c'est tout
Je dis ça car on demande l'ensemble des points M' d'affixe z=x+iy donc pour moi cela veut dire qu'il faut s'intéresser à la partie imaginaire et réelle pour connaître l'emplacement de l'ensemble des points M'.
C'est comme lorsque j'ai z = 1+i, pour pouvoir placer ce point j'utilise la partie imaginaire qui me donne l'ordonnée et réelle qui me donne l'abscisse. Et donc je n'ai pas compris pourquoi ici nous nous sommes seulement intéresser a la partie imaginaire car pour pouvoir placer ce point M on a besoin des deux parties, imaginaire et réelle comme dans l'exemple dans haut ?
oui d'accord sauf que tu oublies quelque chose là:
tu as posé z=x+iy
et au final tu trouves z'= (x2-y2+4x+3)+i(2xy+4y) que l'on peut aussi écrire z'=x'+iy'
ceci est donc l'affixe de M' et non plus de M; ainsi, puisque M' est sur l'axe des réelles,
il faut que y'=0 (2xy+4y)=0
tu trouves x=-2 ou y=0
donc ton point M a pour affixe z=-2+iy
ou z=x avec x et y des réels
ça peut être z=-2+9i ou z=-2+13/2i tant que x=-2
ou z=9 ; z= 3/5 tant que y=0
pour ce faire, on trace donc, comme on te le précise, les droites d'équation x=-2 et y=0
M doit ainsi appartenir à l'une ou l'autre de ces droites pour que M' soit sur l'axe des réels
Je n'ai pas compris cette partie :
"tu trouves x=-2 ou y=0
donc ton point M a pour affixe z=-2+iy
ou z=x avec x et y des réels "
comment on peut trouver l'affixe de M avec ce que l'on a trouvé avant ?
quand tu as mené tes calculs
au final tu tombes sur "x=-2 ou y=0" es-tu d'accord?
une fois ce résultat trouvé, tu dois te rappeler de ce que définissent ces variables x et y
tu as posé plus haut z=x+iy ce qui correspond à l'affixe de M
D'accord je pense avoir compris, je ne savais pas que x et y de la partie imaginaire de z' correspondait aux point a et b de M (ou x et y), ça me parait assez bizarre comme raisonnement. Merci pour votre aide en tout cas.
mais non, ce n'est pas pareil!!!
on reprend du début:
l'énoncé te donne : M le point d'affixe z=x+iy
et Z'=z2+4z+3
on te demande ensuite de trouver le point M' tel qu'il appartienne à l'axe des réels
M' a pour affixe z'=x'+iy' ou aussi
z'=z2+4z+3
en remplaçant z par x+iy
on finit par trouver
z'=(x2-y2+4x+3)+i(2xy+4y)
on a donc ici l'affixe du point M' en fonction de x et y (réels qui définissent le point M)
PUISQUE M' doit appartenir à l'axe des réels, il faut que y'=0
(2xy+4y)=0
2y(x+2)=0
d'où y=0 ou x=-2
ICI x et y sont les réels qui définissent M et non pas M', comme tu le dis dans ton message
ainsi, tu as prouvé que si M' appartient à l'axe des réels, alors l'affixe de M est forcément de la forme
z=-2+iy ou z=x+0y z=x
avec x et y des réels
et donc puisque M' appartient à l'axe des réels z'=x'
z=x+0y quand vous dite ça, cela veut dire que la partie imaginaire est nul ? car je n'ai pas compris pourquoi vous avez mis 0
oui désolé de t'avoir induit dans cette confusion
jee voulais mettre z=x+0i d'où z=x
as-tu compris à présent?
Oui il me semble, mais x et y que l'on trouve à la fin, ont les mêmes valeurs que ceux que l'on trouve dans l'affixe z=x+iy ?
Et si j'ai bien compris M à deux affixe ?
x et y sont ceux qui définissent M donc oui!
mais M n'a pas deux affixes :
c'est soit z=-2+iy soit z=x
un point ne peut pas avoir à la fois deux affixes!
D'accord j'ai compris, j'ai juste une dernière question, comme on connais x et y pourquoi ne peut-on pas les réunir directement dans l'affixe de M, c'est à dire faire Z=-2+i*0
parce que tu as une infinité de solutions qui s'en vont là
si tu fais comme tu dis, on aura juste comme solution z=-2
alors que on a tous les points M appartenant à la droite d'équation y=0 et ceux appartenant à la droite d'équation x=-2 !!!
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