Bonjour Cloud

1) Pour l'existence de G , il faut préciser que la somme des coefficients est différente de 0 , ce qui est le cas ici ( x + 1/x  ne peut s'annuler )

Ensuite , ce que tu as fait est juste !

Donc , on obtient ( après réduction au même dénominateur et transformation ):
AG = (1/x) * x/(x²+1)AB = 1/(x²+1)AB

On vient de montrer que AG et AB sont colinéaires , d'où la conclusion

2) Quand x 0 , 1/(x²+1) 1 , donc le point G sera proche de B

Quand x + , 1/(x²+1) 0 , donc le point G sera proche de A

Donc l'ensemble cherché semble être le segment [AB] sans les points A et B

Pour le démontrer , il faut montrer que pour tout x > 0 , on a  0 < 1/(x²+1) < 1

1/(x²+1) est toujours positif  car (x²+1) > 0

Comme x² > 0 , on a   (x²+1) > 1 et donc 1 > 1/(x²+1) en divisant les 2 membres par (x²+1)

La solution est bien le segment [AB] sans les points A et B

Merci beaucoup pour ton aide Elisabeth67!!
Pour le a) alors comme les vecteur AG et AB sont colinéaires alors il sont alignés, ce qui prouve que G(AB) mais ça ne prouve pas qu'il est sur le segment [AB] si ? ( enfin je pense avoir compris que comme (x²+1)>0 alors 0>1/(x²+1) 1 donc [AG] appartient obligatoirement à [AB] mais je ne pense qu'il faut l'expliquer comme çà car ça ma l'air un peu "brouillon" ce que je viens de dire)

Ensuite pour le b) je ne comprend pas bien t'es explications ( car à vrai dire je ne comprend même pas la question...)

On sait que G [AB] ( en prenant mes démonstrations 1 et 2 )
Comme AG =  1/(x²+1)AB , on peut étudier la fonction f(x) = 1/(x²+1)

f'(x) = -2x/(x²+1)²

Cette quantité est toujours négative sur ]0;+[ , donc f(x) est monotone décroissante de 1 à 0

L'ensemble des valeurs de l'intervalle ]0;1[ est décrit par f

Donc le point G parcourt le segment [AB] sans jamais atteindre ses extrémités .
Ensemble décrit par G : ]AB[

Ok, alors si je comprend bien, "Pour le démontrer , il faut montrer que pour tout x > 0 , on a  0 < 1/(x²+1) < 1

1/(x²+1) est toujours positif  car (x²+1) > 0" c'est est la démonstration qui montre que G[AB] ?

Par contre je ne comprend pas comment tu trouves cette fonction f(x)= -2x/(x²+1)² ?

Vous n'avez pas encore étudié les dérivées ?

Elles permettent de voir comment réagissent les fonctions , si elles sont croissantes ou décroissantes .-2x/(x²+1)² est la dérivée de  1/(x²+1)

Ah non je n'ai pas encore vu ce chapitre... c'est pour ça alors que je ne comprenais pas bien les explications ^^

Bon , dans ce cas , j'imagine que le fait de dire que  0 < 1/(x²+1) < 1 suffira à limiter l'emplacement possible de G entre A et B ( A et B exclus )

Ok, je te remercie pour ton aide Elisabeth67

De rien !
Bonne nuit !

Bonjour
J'ai exactement le même exercice à faire en DM , et pour la question b) je me demande pourquoi ce n'est pas le domaine de définition de G qui est demandé ? Qui serait alors puisque si l'on prend f(x)=1/x²+1
Le domaine de définition serait car x²+1 0

Bonsoir Minipouce

Il a fallu prendre x 0 , à cause de la donnée "G barycentre des points pondérés (A,x) et (B,1/x)"

Tu parles du domaine de définition de G (?); ici , on veut déterminer l'emplacement de G quand x varie entre 0 et +

D'accord , merci j'ai compris les explications précédentes mais la réponse me semblait bizarre étant donné que je n'ai jamais eu ce genre de question !