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Exercice Barycentre

Posté par
ghaddoudy
23-12-12 à 14:54

SVP qui peut m'aider à résoudre cet exercice et merci d'avance
A,B,C et D sont quatre points disticts
on not K le barycentre de (A,3) (B,1) J le milieu de [DC]
G le centre de gravité de BCD et I le milieu de [AG]
Monter que les points I J et K sont alignés .

Merci d'avance

Posté par
dhalte
re : Exercice Barycentre 23-12-12 à 14:59

bonjour

tu montres par exemple que
3\vec{KI} = \vec{KJ}

Posté par
ghaddoudy
re : Exercice Barycentre 23-12-12 à 15:04

Merci .. mais dans l'enoncé il ya beaucoup de donnée j'ai pas pu trouver les relations vectorielles dont j'ai besoin :s

Posté par
ghaddoudy
re : Exercice Barycentre 23-12-12 à 15:04

données *

Posté par
dhalte
re : Exercice Barycentre 23-12-12 à 15:05

donne au moins celles que tu as pu établir

Posté par
ghaddoudy
re : Exercice Barycentre 23-12-12 à 15:16

AK=1/4 AB
JD+JC=0
GB+GC+GD=0
IA+IG=0

j'ai essayé d'exprimer KI en fonction de KJ
KI= KA+AI = -1/4 AB + 1/2 AG

Posté par
dhalte
re : Exercice Barycentre 23-12-12 à 15:20

tu es sur la bonne voie, remplace G

\vec{GB}+\vec{GC}+\vec{GD}=\vec0 peut aussi s'écrire autrement
trouve une expression de \vec{AG}

et aussi de \vec{KJ}

Exercice Barycentre

Posté par
ghaddoudy
re : Exercice Barycentre 23-12-12 à 15:31

merci j'ai un idée :
KI=KA+AI = -1/4 AB + 1/2 AG = -1/4 AB + 1/2 AB + 1/2 BG =  1/4 AB + 1/2(GC+GD)
KJ = KA +AJ = -1/4 AB + AB + BJ = 3/4 AB +3/2 BG = 3/4 AB + 3/2 ( GC + GD)
Donc KJ = 3 KI D'ou KJ et KI sont colinéaires ainsi K I et j sont alignés
C'est juste ?

Posté par
dhalte
re : Exercice Barycentre 23-12-12 à 16:18

ta rédaction est particulièrement indigeste
il va falloir améliorer ça si tu veux qu'on te relise.
Exemple de rédaction (presque aussi indigeste, mais plus aérée, et plus "justifiée")

Rappel :
M barycentre de (A,a),(B,b),(C,c) n'existe que si a+b+c\neq0
et alors M vérifie
a\vec{AM}+b\vec{BM}+c\vec{CM}=\vec0
qui est équivalente à
(a+b+c)\vec{OM}=a\vec{OA}+b\vec{OB}+c\vec{OC}
pour n'importe quel point O.

Je vais tout traduire en équations :
K barycentre de (A,3),(B,1)
4\vec{OK}=3\vec{OA}+\vec{OB}

J milieu de [DC] est aussi barycentre (D,1),(C,1)
2\vec{OJ}=\vec{OD}+\vec{OC}

G centre de gravité de BCD est barycentre de (B,1),(C,1),(D,1)
3\vec{OG}=\vec{OB}+\vec{OC}+\vec{OD}

I milieu de [AG] est barycentre (A,1),(G,1)
2\vec{OI}=\vec{OA}+\vec{OG}

et je souhaite comparer \vec{KI} et \vec{KJ}
je vais tout exprimer en fonction de A, B, C et D, donc éliminer G

\vec{KI}=\vec{OI}-\vec{OK}

\vec{KI}=\frac12(\vec{OA}+\vec{OG}) - \frac14(3\vec{OA}+\vec{OB})

et je simplifie les fractions
4\vec{KI}=2\vec{OA}+2\vec{OG} - 3\vec{OA}-\vec{OB}

je remplace \vec{OG}

4\vec{KI}=2\vec{OA}+2\frac13(\vec{OB}+\vec{OC}+\vec{OD}) - 3\vec{OA}-\vec{OB}

et je simplifie les fractions
12\vec{KI}=6\vec{OA}+2\vec{OB}+2\vec{OC}+2\vec{OD} - 9\vec{OA}-3\vec{OB}

Simplifications
12\vec{KI}=-3\vec{OA}-\vec{OB}+2\vec{OC}+2\vec{OD}


Allons-y pour \vec{KJ}
\vec{KJ}=\vec{OJ}-\vec{OK}

\vec{KJ}=\frac12(\vec{OD}+\vec{OC})-\frac14(3\vec{OA}+\vec{OB})

4\vec{KJ}=2\vec{OD}+2\vec{OC}-3\vec{OA}-\vec{OB}

et il apparaît donc que
12\vec{KI}=4\vec{KJ}

qu'on simplifie en
3\vec{KI}=\vec{KJ}

Posté par
ghaddoudy
re : Exercice Barycentre 23-12-12 à 17:39

Grand Merci



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