Bonjour! Alors voila je vous expose mon problème ! cet exercice est un exercice de réflexion, or la réflexion et moi ça fait 2 ! alors si vous pouvez éclairer mes lumières ce serait vraiment sympa . merci

exercice: ABC est un triangle. On note BC=a, CA=b et AB=c.
L'objectif est de trouver des réels affectés aux points A,B et C tels que le centre I du cercle inscrit, l'orthocentre H ou le centre O du cercle circonscrit soient des barycentres des sommets A,B et C.

A. Centre du cercle inscrit

A' est le pied de la bissectrice de BAC. A' est donc équidistant des cotés de l'angle ( propriété caractéristique des points de la bissectrice ). On note D cette distance et H le longueur de la hauteur issue de A.

1-a. Exprimez les aires des triangles AA'B et AA'C de deux façons différentes.
  b. Déduisez en que A'B sur A'C = c sur d puis que A' est le barycentre de ( B,b ) et ( C,c ).

2B' et C' sont les pieds des bissectrices de ABC et ACB. Exprimer B' comme Barycentre de C, A et C' comme barycentres de A,B

3- Pouvez que I est le barycentre de (A,a), (B,b) et (C,c)

B. Orthocentre et centre du cercle circonscrit

On se place dans le cas où les angles de ABC sont tous aigus. On pose BAC=a, ABC=b et ACB=y. A1 est le pied de la hauteur issue de A.

1-a. Prouver que A1 B sur A1 C = tan y sur tan b.
  b. Déduisez-en que A1 est le barycentre de (B,tan b) et (C,tan y)
  c. Énoncez les résultats analogues pour les pieds B1 et C1 des hauteurs issues de B et C.
  d. Prouvez que H, Orthocentre de ABC, est le barycentre de (A,tan a), (B,tan b) et (C,tan y).
2- M,N et P sont les milieux de [BC], [CA] et [AB]
  a. Justifiez que les médiatrices du triangle ABC sont les hauteurs du triangle MNP.
  b. Exprimez alors O comme barycentre de M,N et P (utilisez le résultat 1-d. )
  c. Déduisez-zn que O, centre du cercle circonscrit à ABC, est le barycentre de A,B et C affectés de coefficients que vous préciserez.