Niveau terminale

Exercice classique du petit théprème de Fermat (1)

Posté par
mathetudiant 19-03-21 à 10:21

Bonjour.

--------L'énoncé-------------------------------------------------------------------------------------
Soit p un nombre premier positif et x un entier tel que : $1\prec x\prec p-1$ . Montrer que : $(x^2-1)^{p-1} \equiv 1\left[ p \right]$
--------Une solution--------------------------------------------------------------------------------
En utilisant le petit théorème de Fermat, on trouve: $(x^2-1)^{p} \equiv (x^2-1)\left[ p \right]$ .

Par suite, on peut diviser par $(x^2-1)$ si et seulement si $PGCD(x^2-1;p)=1$ .

Alors on veut montrer que $PGCD(x^2-1;p)=1$ tout simplement.

On a:     $1\prec x\prec p-1$ $\Leftrightarrow 2\prec x+1\prec p$     (*)
                                                   $\Leftrightarrow 0\prec x-1\prec p-2 \prec p$               (**)

Il est trivial que tout les nombres strictement inferieurs à p ne peuvent pas etre des diviseurs ou des multiples de p car p est premier. (***)

p est un diviseur d'un entier positif n SSI p est un facteur premier de n.

Puisque :   $(x^2-1)=(x+1)(x-1)$ , et tout les nombres $(x+1)$ et $(x-1)$ sont strictement inferieurs à p, alors le nombre $(x^2-1)$ est premier avec $p$ .

Voici une petite démonstration par l'absurde.

On distingue deux cas:

                          1) $(x^2-1)$ est premier, alors il est premier avec $p$ .

                          2) $(x^2-1)$ est composé, alors il s'écrit sous la forme des facteurs premiers.

Supposons que $p$ est un facteur premier de $(x^2-1)$ .

         Il s'ensuite alors: $(x^2-1)=p^{\alpha _{0}}.p_{1}^{\alpha _{1}}.....p_{n}^{\alpha _{n}}$ .

        Puisque $(x^2-1)=(x+1)(x-1)$ , alors : $(x+1)$ est divisible par $p$ ou $(x-1)$ est divisible par $p$ .

        Ce qui est absurde car les deux nombres $(x+1)$ et $(x-1)$ sont strictement inferieurs à $p$ . (à partir des résultats (*) et (**) et en utilisant le résultat (***))

       par conséquent, $(x^2-1)$ est premier avec $p$ .

                               D'ou, $PGCD(x^2-1;p)=1$ .

Alors on divise par $(x^2-1)$ et on obtient : $(x^2-1)^{p-1} \equiv 1\left[ p \right]$ .

-----------------------------------------------------

Une bonne methode? merci d'avance

Posté par re : Exercice classique du petit théprème de Fermat (1) 19-03-21 à 11:20

Bonjour,
La fin me semble bien compliquée et inutile.

D'après le petit théorème de Fermat, $(x^2-1)^{p} \equiv (x^2-1)\left[ p \right]$ .
Donc p divise le produit des 3 facteurs $(x-1)(x+1)((x^2-1)^{p-1}-1)$

Utiliser ensuite p premier avec x-1 et x+1 pour justifier que p divise le 3ème facteur.

Posté par re : Exercice classique du petit théprème de Fermat (1) 19-03-21 à 11:42

Salut Sylvieg

Oui très bien, une bonne méthode. Je ne sais pas pourquoi je n'utilise pas des methodes simples . Votre est très facile.

Merci

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