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Exercice classique du petit théprème de Fermat (2)

Posté par
mathetudiant 19-03-21 à 17:08

Bonjour à tous.

J'ai un nouveau exercice dont j'ai besoin d'une correction dure.

--------L'énoncé-------------------------------------------------------------------------------------
Soit p un nombre premier positif impair et n\in tel que PGCD(n;p)=1.

1) Montrer que : n^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1\left[p \right] ou n^{\frac{p-1}{2}}\equiv -1\left[p \right]

2) Montrer que : n^{p(p-1)}\equiv 1\left[p \right]

--------Mes réponses-------------------------------------------------------------------------------

1) Puisque PGCD(n; p)=1 et p est premier, alors : n^{p-1}\equiv 1\left[p \right]
        
            Or, on peut utiliser l'implication n^{(p-1)}\equiv 1\left[p \right] \Rightarrow  n^{{(p-1)}{x}}\equiv 1\left[p \right]  (*)   dans ceux deux cas ou plus:

     Cas (a): x est un entier naturel.

     Cas (b): x n'est pas entier, mais il est positive et n^{p-1} est un carré parfait.

           Il y'a bien des autres cas mais pour cette question il suffit d'utiliser le deuxième cas.

            Comme p est impair, alors il exist un entier k tel que : p=2k+1.

                   Par conséquent: p-1=2k

                    D'ou,  n^{{p-1}}=n^{2k}.

       D'autre termes, si p est impair alors n^{p-1} est un carré parfait.
          
             Donc on peut utiliser l'implication (*).
          
                  Ce qui donne: n^{\frac{p-1}{2}}\equiv \sqrt{1}\left[p \right]

                  D'ou le résultat: n^{\frac{p-1}{2}}\equiv -1\left[p \right] ou n^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1\left[p \right]   car    1^2=(-1)^2=1

2) De meme, n^{p-1}\equiv 1\left[p \right].

          Alors, n^{(p-1)p}\equiv 1^p\left[p \right].

                 D'ou le résultat.

---------------------------------------------------------------------------------------------------

J'ai un doute de les méthodes que j'ai utilisé. Une bonne methode?

                          Merci d'avance



          
            

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Exercice classique du petit théprème de Fermat (2) 19-03-21 à 17:29

Bonjour,
Ça ressemble beaucoup à un autre de tes sujets.
Déjà, p est impair ; donc p-1 est pair et (p-1)/2 est entier.
A dire dès le début.

Six lignes pour justifier que np-1 est un carré parfait, c'est trop.
Que vient faire ce x avec les deux cas
Par ailleurs, écrire des racines carrées quand on travaille dans les entiers et avec des congruences n'est pas une bonne idée.

Bref, np-1 - 1 = (n(p-1)/2 - 1)(n(p-1)/2 + 1) où chacun des facteurs est un entier.
Utiliser le petit théorème de Fermat comme dans l'autre sujet.

Le "alors" du 2) est à détailler.

Posté par
mathetudiantre : Exercice classique du petit théprème de Fermat (2) 19-03-21 à 17:55

Bonjour Sylvieg

Oui exactement. je dois améliorer la manière par laquelle de vois les exercices. Lorsqu'il y a des méthodes simples, j'utilise des méthodes plus compliqués.

En fait, j'ai cherché bien et j'ai trouvé que la deuxième question est fausse (un error du manuel) et le question est: montrer que : n^{(p-1)p}1[p^2].

Je vais penser d'une méthode pour la montrer...et après, vous pouvez la corriger.

Merci

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Exercice classique du petit théprème de Fermat (2) 21-03-21 à 08:43

Besoin d'un indice ?

Posté par
mathetudiantre : Exercice classique du petit théprème de Fermat (2) 21-03-21 à 11:06

En fait, oui j'ai besoin d'un indice. Je ne sais pas comment commencer.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Exercice classique du petit théprème de Fermat (2) 21-03-21 à 11:18

Chercher à écrire \; np(p-1) - 1 \; comme un produit de deux facteurs dont chacun est un multiple de p.

Posté par
mathetudiantre : Exercice classique du petit théprème de Fermat (2) 21-03-21 à 12:09

Bonjour Sylvieg

On trouve alors: (np(p-1)/2-1)(np(p-1)/2+1).

Par suite, ces deux facteurs peuvent être des multiples de p à la fois, alors la proposition est dans certains cas.

Le problème est le ou dans la première question. Peut-on utiliser la parité de p? P est pair ssi p égale à 2 car p est premier.

Posté par
mathetudiantre : Exercice classique du petit théprème de Fermat (2) 21-03-21 à 12:10

mathetudiant @ 21-03-2021 à 12:09

Bonjour Sylvieg

On trouve alors: (np(p-1)/2-1)(np(p-1)/2+1).

Par suite, ces deux facteurs peuvent être des multiples de p à la fois, alors la proposition est vraie dans certains cas.

Le problème est le ou dans la première question. Peut-on utiliser la parité de p? P est pair ssi p égale à 2 car p est premier.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Exercice classique du petit théprème de Fermat (2) 21-03-21 à 12:13

Cherche une autre factorisation.
Je ne vais plus être disponible avant la fin de l'après midi.

Posté par
mathetudiantre : Exercice classique du petit théprème de Fermat (2) 21-03-21 à 12:17

Sylvieg

Oui très bien. Ok

Posté par
carpediemre : Exercice classique du petit théprème de Fermat (2) 21-03-21 à 12:21

salut

peux-tu nous énoncer le théorème de Fermat ?

Posté par
mathetudiantre : Exercice classique du petit théprème de Fermat (2) 21-03-21 à 12:35

Bonjour carpediem

Oui bien sûr.

PETIT THÉORÈME DE FERMAT
1) Si p est un nombre premier positif, alors il divise ap-a, pour tout a. Autrement dit:
      (a) apa[p]
2) Si p est un nombre premier positif, alors pour tout a :
      PGCD(a;p)=1 ap-11 [p]

Posté par
carpediemre : Exercice classique du petit théprème de Fermat (2) 21-03-21 à 12:44

alors en utilisant 2/ puisque (n, p) = 1 et p est impair donc p - 1 est pair on a immédiatement :

n^{p - 1} -1 \equiv 0  [p] \iff (n^{\frac {p - 1} 2} - 1)(n^{\frac {p - 1} 2} + 1) \equiv 0  [p] \iff ...

et de même pour 2/ on a donc n^{p - 1} \equiv 1  [p]  donc immédiatement ...

Posté par
mathetudiantre : Exercice classique du petit théprème de Fermat (2) 21-03-21 à 12:55

carpediem

Oui très bien c'est ça que j'ai trouvé. Mais on veut montrer que (np(p-1)/2)-1)(np(p-1)/2+1) et divisible par p2.

Or, le résultat qu'on a trouvé n'est pas utile pour démontrer ça car on doit démontrer que les facteurs sont divisibles par p en même temps.

Je parle de la question 2.

Posté par
carpediemre : Exercice classique du petit théprème de Fermat (2) 21-03-21 à 13:40

ha pardon j'avais vu mais oublié le correctif ...

je pose m = n^{\frac {p - 1} 2}

n^{p(p - 1)} - 1 = m^{2p} - 1 = (m^p - 1)(m^p + 1)

or  m^p - 1 = (m - 1)\sum_0^{p - 1}m^k = (m - 1) \times S   (somme des termes d'une suite géométrique ou reconnaitre m^p - 1 = m^p - 1^p = ...

et m^p + 1 = m^p - (-1)^p = (m + 1)\sum_0^{p - 1} m^k(-1)^{p - 1 - k} (m + 1) \times T   car p est impair donc m^p + 1^p est factorisable par (m + p)

donc n^{p(p - 1)} - 1 = (m^p - 1)(m^p + 1) = (m - 1)(m + 1) \times S \times T

donc d'après 1/ soit m - 1 soit m + 1 est multiple de p

montre alors que >S est aussi multiple de p ...

Posté par
carpediemre : Exercice classique du petit théprème de Fermat (2) 21-03-21 à 14:06

carpediem @ 21-03-2021 à 13:40

ha pardon j'avais vu mais oublié le correctif ...

je pose m = n^{\frac {p - 1} 2}

n^{p(p - 1)} - 1 = m^{2p} - 1 = (m^p - 1)(m^p + 1)

or  m^p - 1 = (m - 1)\sum_0^{p - 1}m^k = (m - 1) \times S   (somme des termes d'une suite géométrique ou reconnaitre m^p - 1 = m^p - 1^p = ...

et m^p + 1 = m^p - (-1)^p = (m + 1)\sum_0^{p - 1} m^k(-1)^{p - 1 - k} {\red = } (m + 1) \times T   car p est impair donc m^p + 1^p est factorisable par (m + p)

donc n^{p(p - 1)} - 1 = (m^p - 1)(m^p + 1) = (m - 1)(m + 1) \times S \times T

donc d'après 1/ soit m - 1 soit m + 1 est multiple de p

montre alors que >S est aussi multiple de p ...
plus précisément :

si m = 1  [p] alors S est multiple de p aussi
si m = -1  [p] alors T est multiple de p aussi

ce me semble-t-il ...

Posté par
mathetudiantre : Exercice classique du petit théprème de Fermat (2) 21-03-21 à 14:42

Merci carpediem

Oui très bien c'est ça que j'ai trouvé dans mon brouillon mais sans un changement de variable.

m^{p}-1=(m-1)\sum_{i=0}^ {p-1} m^i

                  =(m-1)\frac{1-m^p}{1-m}

Car m est le raison de la suite géométrique m^k.

Par conséquent, si m=1[p] on obtient: m^{p}-1=(m-1)\times 0[p] Alors le premier terme est divisible par p. Ainsi pour le deuxième terme car p est impaire.

Il s'ensuite alors aue le produits de ces deux termes est divisible par p^2

C'est ça l'idée! Oui très bien, merci carpediem. Le changement de variable que t'as fait de m m'a aidé pour voir la technique clairement.

Posté par
carpediemre : Exercice classique du petit théprème de Fermat (2) 21-03-21 à 14:47

attention :

1/ on dit terme d'une somme  et  facteur d'un produit !! il faut être rigoureux même dans le vocabulaire

2/ il faut bien sûr traiter les deux cas  (à cause du ou dans 1/)

Posté par
mathetudiantre : Exercice classique du petit théprème de Fermat (2) 21-03-21 à 15:25

Oui oui c'est impérative. Alors je vais traiter le deuxieme cas.

Puisque p est impaire, alors m^p+1=(m+1) \sum_{i=0}^{p-1} m^{p-i-1}(-1)^i

En considérant une suite géométrique Un=m^{p-n-1}(-1)^n, la somme de ses termes est:

\sum_{i=0}^{p-1} m^{p-i-1}(-1)^i = m^{p-1} \frac{1+m^{-1}}{1-m}=m^{p-1} \frac{m+1}{(1-m)m}

Si m \equiv -1[p],  donc la somme est divisible par p.

Alors dans ce cas m^{2p}-1 est divisible par p^2, ainsi: n^{p(p-1)} \equiv1[p^2]

Merci infiniment carpediem

Posté par
carpediemre : Exercice classique du petit théprème de Fermat (2) 21-03-21 à 15:52

en fait dans les deux cas ça ne va pas du tout !!!

mathetudiant @ 21-03-2021 à 14:42

m^{p}-1=(m-1)\sum_{i=0}^ {p-1} m^i

                  =(m-1)\frac{1-m^p}{1-m}

Car m est le raison de la suite géométrique m^k.
ne penses-tu pas que tu tournes en rond ?

lorsque m^p = 1  [p] tu ne t'occupes maintenant que de S

et si m^p = -1  [p] tu ne t'occupes que de T

Posté par
carpediemre : Exercice classique du petit théprème de Fermat (2) 21-03-21 à 15:56

pardon ce n'est pas m^p mais m simplement ...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Exercice classique du petit théprème de Fermat (2) 21-03-21 à 18:26

De retour.
Merci carpediem d'avoir pris le relais.
Je vous laisse terminer dans cette direction.
Si ça vous intéresse, je donnerai une indication supplémentaire pour utiliser une autre factorisation que \; (np(p-1)/2-1)(np(p-1)/2+1) .

Posté par
carpediemre : Exercice classique du petit théprème de Fermat (2) 21-03-21 à 18:34

ok !! d'autant plus que j'ai cherché ... mais rien trouvé de "concluant"  ... ni même rien tout court !!

donc je suis curieux de voir ta proposition

Posté par
mathetudiantre : Exercice classique du petit théprème de Fermat (2) 21-03-21 à 23:39

Bonsoir carpediem, Sylvieg

Pardon pour le retard; j'étais en voyage. Je pense de rédiger un raisonnement complet et facile à lire en considérant votre remarques carpediem et je suis curieux aussi de voir ta proposition Sylvieg. Merci à tous pour votre aide et bonne nuit. À demain

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Exercice classique du petit théprème de Fermat (2) 22-03-21 à 07:24

Bonjour,
Finalement, ce que je propose ressemble à ce qui est déjà présent dans le message de 14h06. Mais sans utiliser l'exposant p(p-1)/2.
Avec N = np-1, on a np(p-1) - 1 = Np - 1
Np - 1 se factorise par N-1 : \; Np - 1 = (N-1)F

Chacun des facteurs N-1 et F est un multiple de p.

Posté par
mathetudiantre : Exercice classique du petit théprème de Fermat (2) 22-03-21 à 15:10

Bonjour Sylvieg, carpediem.

Pour la question 2, on peut rédiger le raisonnement suivant.

Puisque p(p-1) est pair, alors on peut dire que:  n^{p(p-1)}-1=(n^{\frac{p(p-1)}{2}}-1)(n^{\frac{p(p-1)}{2}}+1)

Or: n^{\frac{p(p-1)}{2}}-1=(n^{\frac{p-1}{2}}-1)(\sum_{k=0}^{p-1} (n^{\frac{p-1}{2}})^{p-k-1})  et n^{\frac{p(p-1)}{2}}+1=(n^{\frac{p-1}{2}}+1)(\sum_{k=0}^{p-1} (n^{\frac{p-1}{2}})^{p-k-1} (-1)^k)    

                                                                                                                                    (car p est impair)

En utilisant le résultat obtenue dans la question 1, on distingue deux cas:

1) Si: n^{\frac{p-1}{2}} \equiv 1 [p]  ,    On trouve  (n^{\frac{p-1}{2}})^{p-k-1} \equiv 1 [p]   pour tout k.

on pose: S_{n}=\sum_{k=0}^{p-1} (n^{\frac{p-1}{2}})^{p-k-1}.

le nombre des termes de S_{n} est égale à: p-1-0+1=p.

Alors S_{n} \equiv 1 \times p [p] . C-à-d: S_{n} \equiv 0[p] .

Donc: (n^{\frac{p-1}{2}}-1)(\sum_{k=0}^{p-1} (n^{\frac{p-1}{2}})^{p-k-1}) \equiv 0[p^2].

Ce qui donne: n^{p(p-1)}-1 \equiv 0[p^2]

2) Si n^{\frac{p-1}{2}} \equiv -1 [p]  ,    On trouve  (n^{\frac{p-1}{2}})^{p-k-1} (-1)^{k} \equiv 1 [p] pour tout k.

On pose: F_{n}=\sum_{k=0}^{p-1} (n^{\frac{p-1}{2}})^{p-k-1} (-1)^k.

le nombre des termes de F_{n} est égale à: p-1-0+1=p.

Alors F_{n} \equiv 1 \times p [p] . C-à-d: F_{n} \equiv 0[p] .

Donc: (n^{\frac{p-1}{2}}+1)(\sum_{k=0}^{p-1} (n^{\frac{p-1}{2}})^{p-k-1} (-1)^k) \equiv 0[p^2].

Ce qui donne: n^{p(p-1)}-1 \equiv 0[p^2]

Conclusion, on a: n^{p(p-1)}-1 \equiv 0[p^2], C-à-d: n^{p(p-1)} \equiv 1[p^2]
-----------------------------------------------

Je pense qu'il est bien. N'est ce pas?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Exercice classique du petit théprème de Fermat (2) 24-03-21 à 19:18

Bonsoir,
Deux remarques sur la rédaction de la question 2) :

Écrire A 0 [p] et B 0 [p] donc AB 0 [p2] ne me plait pas.
Je préfère A = kp et B = k'p donc AB = ...

Ce qui est écrit derrière "On trouve" du 2), pourrait être un peu plus détaillé.

Ne recommence pas tout !
Si tu veux faire encore quelque chose pour cet exercice, essaye plutôt de faire la démonstration sans séparer en 2 cas, en utilisant mon indication du 22 à 7h24.

Posté par
mathetudiantre : Exercice classique du petit théprème de Fermat (2) 24-03-21 à 22:02

Bonsoir Sylvieg

Sylvieg @ 24-03-2021 à 19:18

Bonsoir,
Deux remarques sur la rédaction de la question 2) :

Écrire  A 0 [p] et B 0 [p] donc AB 0 [p2] ne me plait pas.
Je préfère A = kp et B = k'p donc AB = ...


ok je vais le faire à la prochaine fois.

Sylvieg @ 24-03-2021 à 19:18


Ce qui est écrit derrière "On trouve" du 2), pourrait être un peu plus détaillé.


L'idée est que la parité de k et p-k-1 est la meme car p est impair. J'ai fait ça pour éviter plus le calcule.

Je dois plus expliquer bien sur

Sylvieg @ 24-03-2021 à 19:18


Ne recommence pas tout !
Si tu veux faire encore quelque chose pour cet exercice, essaye plutôt de faire la démonstration sans séparer en 2 cas, en utilisant mon indication du 22 à 7h24.


Oui très bien, ta méthode est plus facile que la distinction des cas que nous avons fait.

Salut

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Exercice classique du petit théprème de Fermat (2) 24-03-21 à 22:11

L'idée est aussi

(n^{\frac{p-1}{2}})^{p-k-1} (-1)^{k} \equiv (-1)^{p-k-1} (-1)^{k} \equiv (-1)^{p-1} [p]

Posté par
mathetudiantre : Exercice classique du petit théprème de Fermat (2) 24-03-21 à 23:31

Sylvieg

Oui c'est ça. J'ai pensé comme ça théoriquement et j'ai pensé qu'on peut pas l'écrire mathématiquement.


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