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Niveau Maths sup
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Exercice Complexe Colle

Posté par
benjyslod
18-11-17 à 16:38

Bonjour ! un des exercice de ma colle me demande de trouver l'ensemble des point M d'affixe z tel que (z/z-1)² soit réel et en remplaçant z par x+iy je me retrouve avec un développement interminable.  Merci pour vos réponses !

Posté par
malou Webmaster
re : Exercice Complexe Colle 18-11-17 à 16:41

du bon usage des parenthèses....

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q27 - Comment bien écrire une formule ?

Posté par
benjyslod
re : Exercice Complexe Colle 18-11-17 à 16:47

Toutes mes excuses, l'équation est : \left(\frac{z}{z-1} \right)²

Posté par
Jezebeth
re : Exercice Complexe Colle 18-11-17 à 16:48

Bonjour
Pas si interminable que ça... z/(z-1) se met très facilement sous forme algébrique. Par contre effectivement élever au carré c'est pas très élégant. Il faut utiliser les arguments. Penser à la propriété sur l'argument de z^n avec n entier naturel.

Posté par
ThierryPoma
re : Exercice Complexe Colle 18-11-17 à 16:52

Bonsoir,

\left(\dfrac{z}{z-1} \right)^2\in\R\Leftrightarrow\left(\dfrac{z}{z-1} \right)^2=\overline{\left(\dfrac{z}{z-1} \right)^2}=\cdots

Posté par
Jezebeth
re : Exercice Complexe Colle 18-11-17 à 16:53

Encore mieux ça !

Posté par
malou Webmaster
re : Exercice Complexe Colle 18-11-17 à 16:54

oui ou avec les arguments....

Posté par
benjyslod
re : Exercice Complexe Colle 18-11-17 à 17:28

Merci pour vos réponses et vos propositions, j'ai essayer avec les arguments et je me retrouve avec arg(z) - arg(z-1) = k\frac{\pi }{2}

Posté par
Jezebeth
re : Exercice Complexe Colle 18-11-17 à 17:31

Très bien ! (tu n'es pas tombé dans le piège...)
La conclusion est rapide ensuite.

(Finalement j'ai survolé les deux méthodes et les arguments sont plus efficaces. Si tu veux faire ce qu'a conseillé Thierry il faut, de même, ne pas oublier d'enlever l'origine dans le cercle.)

Posté par
benjyslod
re : Exercice Complexe Colle 18-11-17 à 17:39

J'aurais pensé à \large z\in \R\ / \left\{1 \right\}

Posté par
malou Webmaster
re : Exercice Complexe Colle 18-11-17 à 17:39

euh...je ne dirais pas très bien, mais sur la bonne voie....
car
(z/(z-1))² réel s'il est nul, ou si n'étant pas nul alors argument de ....., etc....

Posté par
benjyslod
re : Exercice Complexe Colle 18-11-17 à 18:21

Décidément je n'arrive pas à voir quelle relation il y a entre arg(z) et arg(z-1) + k\frac{\pi }{2}

Posté par
malou Webmaster
re : Exercice Complexe Colle 18-11-17 à 18:39

introduis M(z) et A(1)
....et passe en termes d'angle

Posté par
alb12
re : Exercice Complexe Colle 18-11-17 à 19:01

salut,
la methode algebrique, pour inelegante qu'elle soit, tient en 4 ou 5 lignes.
(elever au carre puis chercher la partie imaginaire).

Posté par
benjyslod
re : Exercice Complexe Colle 18-11-17 à 19:22

Je crois tenir un truc : j'ai dessiné un cercle trigo de rayon 1 et j'ai placé le point A(1) et j'ai tracé un deuxième cercle trigo de centre A et de rayon 1, j'ai trouvé le point d'intersection des deux cercle aux coordonnées \frac{-racine(3)}{2} + \frac{1}{2}i par rapport au cercle de centre A, et j'ai reporté ce point sur le cercle trigo de centre O et j'ai dit que c'était un point d'argument (z-1) et z serait \frac{racine(3)}{2} + \frac{1}{2}i mais l'angle entre les deux n'est que de \frac{\pi }{3}

Posté par
carpediem
re : Exercice Complexe Colle 18-11-17 à 19:42

salut

\left( \dfrac z {z - 1} \right)^2  est réel si et seulement si \dfrac z {z - 1} est réel ou est imaginaire pur ...

\dfrac z {z - 1} = r \iff z(1 - r) = -r \iff ...

\dfrac z {z - 1} = ir \iff z(1 - ir) = -ir \iff ...


remarquer que z^2 = r \iff z^2 - r = 0 se factorise au collège ou en première suivant le signe de r ...

ou encore avec la forme algébrique : si z = a + ib alors z^2 \in \R \iff ab = 0 ...

Posté par
alb12
re : Exercice Complexe Colle 18-11-17 à 20:27

salut,
arg((zD-zC)/(zB-zA))=???
en colle il faut reagir vite à l'aide proposee.

Posté par
benjyslod
re : Exercice Complexe Colle 18-11-17 à 21:30

Merci j'ai compris où était mon erreur, bonne continuation à vous et bonne soirée !

Posté par
alb12
re : Exercice Complexe Colle 18-11-17 à 21:37

c'est l'essentiel

Posté par
Razes
re : Exercice Complexe Colle 18-11-17 à 21:58

Bonsoir,

En principe il y a plusieurs façons de résoudre ça. Entre autres ce qu'a proposé ThierryPoma, il suffisait d'un petit effort.

\left(\dfrac{z}{z-1}\right)^2=\overline{\left(\dfrac{z}{z-1} \right)^2}\Leftrightarrow\left({z}{(\overline{z}-1)}\right)^2=(\overline{z}(z-1))^{2}\Leftrightarrow \left (\left |z\right |^{2}-z\right )^{2}=\left (\left |z\right |^{2}-\overline{z}\right )^{2}\Leftrightarrow (z-\overline{z})\left (2\left | z \right |^{2}-z-\overline{z}\right )=0

Tu as deux cas et en passant à x+iy pour chaque cas, tu as toutes les solutions.



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