Bonjour,
Je n'arrive pas à résoudre un exercice type concours général de mathématiques.
Voici l'énoncé :
On définit la suite (Un) par son premier terme U0 positif, et la relation de récurrence :
Pour tout entier naturel n, Un+1 = Sqrt(Un)+ 1/(n+1)
Cette suite est-elle convergente ?
avant toute chose, il est clair que c'est une suite à termes positifs
si elle a une limite L, que peut valoir cette limite ?
J'étais parti d'un raisonnement par l'absurde et j'ai supposé que la limite était finie, j'ai trouvé L=0 ou L=1.
Mais comment aboutir à une conclusion car je ne suis parti que d'une simple hypothèse or dans un raisonnement par l'absurde il faut aboutir à une contradiction cependant j'ai remarqué que la limite était bien finie. Donc je ne peux aboutir à une contradiction
c'était une question brute comme ça ou dans un problème ?
parce que maintenant au concours général ce sont plus des petits problèmes... il est de quelle année celui-là ?
Ce n'était pas au concours général, c'est dans une fiche de « stage » faite par l'académie de Versailles pour s'entraîner pour le concours général qui arrive en mars
salut
en attendant matheuxmatou que je salue
tu crois que ta suite comment d'après toi convergente ou pas ?
j'avoue que rien ne me saute aux yeux... je cherche
une chose est sûre, c'est que u1 > 1
et une récurrence simple permet de montrer que pour tout n1 , un>1
donc déjà si ça converge, c'est vers 1
Je ne vois pas comment vous arrivez à en conclure qu'elle diverge en calculant les 10 premiers termes.. Le seul constat que j'ai pu faire est que la suite est croissante puis décroissante à partir d'un certain rang selon les valeurs de u0
on remarquera qu'on peut démontrer par récurrence que
si il existe p tel que up+1-up < 0
alors pour tout np , un+1-un < 0
ce qui prouverait alors qu'elle converge, et donc vers 1
Question bête, mais démontrer cela montrerait que la suite est décroissante, mais comment montrer ainsi qu'elle est minorée ? (enfin je suppose qu'il faut montrer cela d'après le théorème de converge des suites monotones)
oui non pardon j'ai craqué ....j'étais sur n au lieu de Un
effectivement elle doit converger ....
désolé
On sait que la suite est minorée ( minorée par 0 ... et même par 1).
Si en plus elle est décroissante, c'est fini, ça suffit pour conclure qu'elle converge.
une idée serait de prouver qu'elle ne peut pas être croissante...
cela prouverait bien qu'il existe un entier p tel que up+1-up < 0
et ce serait fini
J'ai une idée vous pouvez me dire si c'est correct en terme de raisonnement ? par rapport à la convergence de la suite de Yohan car je suis en terminale aussi et je participe au concours générale ^^. J'ai peur de donner la réponse :/.
Donc on a :
Autrement dit la suite converge vers une suite avec
Donc il nous suffit d'étudier maintenant si converge ? (ce qui est assez simple) comme celle ci converge vers une limite finie quelque soit alors converge vers une limite finie quelquesoit
Est-ce correct ?
C'est exactement un des raisonnement que je m'était fait et justement je me demandais s'il était bon
Oui ne t'en fait pas de toute façon c'est juste une fiche d'exercices à envoyer, ça n'est pas encore le concours haha
Colombes,dans le 92, proche de Paris. Vous aussi ils vous ont donné une fiche pépinière à rendre toutes les semaines ?
Bonjour,
Ceci n'est pas correct
Oui effectivement j'ai oublié le \lim à droite :/ ,
Je sais que l'on peut pas écrire lim sans avoir vérifié que (Un) converge mais comment faire alors ? Parce que je veux dire que "quand n tend vers +infini la suite converge vers la suite sqrt(Un).
Il faudrait dire que (Vn) converge (simple à démontrer) et que :
Selon un certains ensemble E, si
(qui ducoup existerai maintenant)
?? C'est possible comme ça ? merci ^^
comment faire ? prouver que cette limite existe !
une petite idée de piste qui, sauf erreur, me semble fonctionner :
1 : établir qu'une limite finie éventuelle ne peut valoir que 0 ou 1
2 : établir que pour n1 , on a un > 1
3 : établir que si la suite est strictement croissante , alors elle tend vers l'infini
4 : montrer que pour K > 0 ,
signifie
5 : montrer que si , pour un certain p on a
avec
alors, pour tout np, on a
6 : en déduire que la suite ne peut pas être croissante et qu'il existe un entier q tel que uq+1-uq < 0
7 : montrer que la suite décroit à partir du rang q
8 : conclure
malgré l'aperçu et la relecture... y'a des défauts ! je le remets :
Si la question portait sur wn+1 = wn + 1/(n+1),
introduirais-tu de même une suite définie par kn+1 = kn pour démontrer que la suite (wn) converge ?
Problème : la suite (wn) a comme limite +.
bonsoir Sylvieg
mes posts de 22:13 et 22:15 comportent des imprécisions... mon énoncé rectifié est à 22:18
sauf erreur ça doit marcher.
Ouais mais pourquoi K >= 2.6 je comprends pas d'où viennent les calculs d'avant ,
mais mon idée n'est pas bonne ? Avec mon Vn ? Ça me semble plus simple c'est pour ça mais c'est vrai que juste démontrer que la suite est decroissante à partir d'un certain terme est bien aussi j'avais loupé un détail ducoup je croyais que je pouvais pas le faire.
Mais mon Vn m'intéresse ducoup ^^? Merci
FerreSucre
non... ce que tu écris n'a pas beaucoup de sens !
notamment "converger vers la suite vn"... comment une limite peut dépendre de la variable "n" qui sert à calculer la limite ?
Sylvieg ouais, je l'aurais pas fait parce que je sais que
Mais je vois le problème ducoup xD, dommage :/ ça aurait été pratique
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