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peut être... une fois qu'on est à
An+Bn/2
Bn on a Bn=Bn+1
donc An+1Bn+1
dans le cas où An+1=An
on part de AnBn
2AnBn+An
An=An+1Bn+1
donc P est héréditaire!
voilà, c'est très mal écrit (il manque une floppée de parenthèses indispensables) mais c'est l'idée...
ensuite
et un dessin ne ferait pas de mal ! c'est un principe de dichotomie...
dans le segment [An ; Bn]
soit An est reproduit au rang suivant et Bn devient le milieu
Soit Bn est reproduit au rang suivant et An devient le milieu
bref
point n°2
ensuite pour An croit:
soit P(n) la propriété "An+1
An"
init: A0=A1=0
P(0) est vérifiée
hérédité: on suppose P(n) vraie pour un entier n positif
ainsi An+1An
dans le cas où An+2=An+1 l'inégalité est directement vérifiée
sinon on a An+1An
(An+1+Bn+1)/2 (An+Bn+1)/2
or ici Bn+1=Bn
d'ou An+2An+1 et P est héréditaire
je suppose que c'est le même raisonnement pour montrer que Bn décroit
que c'est compliqué !
tu as lu et compris ma remarque de 18:38 ?
An+1 - An vaut 0 ou (Bn - An) / 2
le résultat est immédiat !
ah et donc (Bn-An)/2 est toujours positif comme AnBn donc An+1-An0 dans tous les cas
sinon oui, je pense avoir compris votre remarque, mais en quoi peut elle servir dans les démonstrations à faire ?
bon, je vais devoir quitter
des points 1-2-3 tu en déduiras que ces deux suites convergent
pour le point 4 tu remarqueras que cette suite est géométrique 
et tu concluras.
point 3: bn+1-Bn=0 ou (An-Bn)/2
0 donc (Bn) décroitpoint 4: Bn+1-An+1= (An+Bn)/2-An=(Bn-An)/2 ou Bn-(An+Bn)/2=(Bn-An)/2
donc Bn+1-An+1= 1/2* Bn-An donc la suite est géométrique et comme la raison est de 0
1/21 alors la suite converge vers 0. et voila!
et on peut conclure que comme les suites sont adjacentes alors elles ont même limite et convergent!
pour la 8b, tu peux montrer facilement que la suite A est dans E0 et la suite B dans E
(récurrence)
et en déduire la solution
Pour montrer que A est dans E0 c'est le même raisonnement que la 2) non ?
Soit P(n) “Un(An)1”
Init: n=0
U1(A0=0)=e0/1=1
P(0) est vérifié
Hérédité: on suppose que pour un entier pUp(Ap)1
Up+1=eUp(Ap)/p+1 e/p+1 e/3 1
Car p+1N+13
Je ne sais pas mais je l'impression que ça ne va pas 😅 deja pour l'initialisation il fait prendre n=0 ? Et je ne suis pas non plus si mon hypothèse de récurrence est bonne
Puis pour conclure :
Soit x<d
Comme x<d et An est croissante de limite d
Il existe Ap tel que xAp
Pour tout Un(x)Un(Ap) (Un étant strict croissante)
Or Un(Ap)-> 0 (car An
E0
Ainsi avec le théorème des gendarmes on obtient que Un(x) tend vers 0 donc xE0
De même avec x>d, en minorant pas Bp au lieu de majorer pas Ap
Je poste aussi un essai de réponse que j'ai fait pour la 9... qui je trouve était assez difficile
On pose Ck,l=ln(k+1)ln(...(l-1)ln(l))...)
Soit P(n) “Uk(Cl)=Ck,l”
Init: U1(Cl)= exp(Cl)= ln2ln(...(l-1)ln(l)...)= C1,l P(1) est vérifiée
Hérédité: Uk+1(Cl)=exp(Uk(Cl)/k+1
=exp(Ck,l)/k+1
=Ck+1,l
Donc P est héréditaire
Donc Ul(Cl)=Cl,l=1 et il existe un rang N=l à partir duquel UN1
J'ai essayé de mettre deux indices afin d'avoir une récurrence immédiate, je n'ai pas trouvé d'autre manière, qu'en pensez vous ?
(J'ai passé toute la soirée d'hier sur cette question 😅)
on reprend la 8b
que c'est compliqué et incompréhensible !
Montre par récurrence que la suite A est dans E0 et la suite B dans E
utilise la construction des suites A et B, c'est quasi évident 
Effectivement, je viens de comprendre et je me suis bien compliqué la tâche 😅
P(n): “AnE0”
Init: A0=0 E0 (d'après la question 4)
P(0) vérifiée
Hérédité:
Soit An+1=(An+Bn)/2 et on sait que (An+Bn)/2 appartient à E0
Soit An+1=An et par hypothèse de récurrence An+1E0
Donc dans tous les cas An+1E0!
Et c'est le même raisonnement pour Bn
si x < d,
An tend vers d en croissant donc
il existe un Ap compris entre x et d et Ap E0
donc x ]- ; Ap] 
E0
(question 5b je crois)
donc x E0
pour tout x < d
donc ]- ; d[ E0
pour la question 9 je ne comprends rien à ce que tu fais
déjà ta propriété P(n) ne dépend pas de n ... !
et ton "k+1" doit être inférieur à "i-1" ... ?
mais effectivement le but est de démontrer que un(cn) = 1
il y a de l'idée dans ce que tu fais mais faut formaliser cela
Oui P(k) pardon
De quel i-1 parlez vous ? 😅
Sinon oui c'est ça je veux montrer Un(Cn)=1 mais je n'y suis pas arrivé directement avec cette hypothèse de récurrence, c'est pour cela que j'avais tenté quelque chose avec une récurrence sur k... mais il y a sûrement plus simple
D'accord bon c'est bon pour cette question alors! Pourriez-vous m'éclairer un peu sur la 10 parce que je ne sais toujours pas comment m'y prendre, récurrence ou peut être utiliser des inégalités?
la 10 c'est la convergence ?
assez facile de montrer que C est une suite croissante (pour i>2, ln(i) >1)
et comme c'est une suite de E0 elle est majorée par d
Oui, j'avais pensé à montrer la croissance mais ce avec quoi j'ai du mal c'est qu'ici on a pas de Cl+1 en fonction de Cl directement
Voilà ce que j'ai essayer de faire
Soit P(n) “ Cn+1Cn”
Init: n=2
C2
-0,2 et C3-0,3
Donc P(2) est vérifiée
Hérédité: on suppose que pour un entier p
Cp+1Cp
ln(ln(2ln...(p)ln(p+1)...) ln(ln(2ln...(p-1)ln(p)...)
ln(ln(2ln...(p+1)ln(p+2)...) ln(ln(2ln...(p)ln(p+1)...) (car p2 donc ln(p)1 ce qui conserve l'inégalité)
Cp+2Cp+1
En attendant pour la 11:
On a dit que Cl appartenait à E0 et de ce fait était majorée par d
Cependant d
Cl donc dE0
Ainsi dE
pour la 10 :
absolument pas besoin d'une récurrence !
les derniers ln de Cn+1 c'est ...ln( n ln(n+1) )...)
et n+1 >= 3 donc ln(n+1) > 1
ce qui te donne directement
Cn+1 > Cn
pour la 11 c'est n'importe quoi !
Cependant d
Cl cela n'a strictement aucun sens !
finis la 10 correctement déjà
et il ne reste plus beaucoup de "temps", le fil va bientôt être bloqué vu le nombre d'échanges
donc soit efficace et rigoureux !
Ah d'accord 😂
Si pour la 10 on a montrer que Cn+1Cn alors C est croissante
Et
et comme c'est une suite de E0 elle est majorée par d
Donc C est majorée et à la fois croissante donc convergente
je n'ai pas vu de démonstration correcte sur le fait qu'elle est majorée
qui plus est elle est strictement croissante et cela a son importance !
et ne pas confondre les pistes que je t'indique avec un résultat démontré !
donc démontre moi que (Cn) est majorée par d
Je ne sais pas si c'est une démonstration rigoureuse mais je dirais que comme ]-;d[E0 et que ClE0 en étant strictement croissante, alors Cl<d pour tout l
peu convaincant
avec l'hypothèse que tu écris, on pourrait avoir E0 = ]- ; d+4]ar exemple... je ne vois pas pourquoi les termes de la suite (C) seraient tous en dessous de d
ton inclusion est pas dans le bon sens pour conclure !
E0 = ]-
; d+4]ar exemple...A la question 8)b on a montrer que ]-
;d[E0 et ]d;+[E donc pourquoi l'intervalle de d a d+4 pourrait appartenir à E0? Elle ne peut pas appartenir à E en même temps non ?Comme ]-;d[E0, que ]d;+[E, et que ClE0 alors Cl]-;d[ (l'intervalle]d;+[ étant dans E).
Cl étant strictement croissante et toujours inférieure à d, elle est majorée par d
C'est mieux ?
quel blabla ! non tu n'as encore rien montré ! tout ça c'est de la paraphrase !
E0 est le complémentaire de E
]d ; +[ E
donc le complémentaire de E est inclus dans ]- ; d ]
et donc
E0 ]- ; d ]
là tu peux conclure !
tu manque beaucoup de rigueur mathématique sur ce genre de problème !
Ah désolé je n'avais pas encore vu votre message de 23h04 quand j'ai posté... je je vois pas trop l'intervalle qu'il faut trouver.. 
privé de E ?
bref...
11 : assez technique mais très courte quand on la prend bien
Soit L la limite de la suite (C)... qui est suite de E0
que sait-on de L ?
montre que pour tout n on a un(L) > 1
et conclus
non ! récurrence inutile... il faut simplement utiliser astucieusement les résultats obtenus précédemment !
la suite (C) est strictement croissante et tend vers Ld
la fonction x 
un(x) est strictement croissante
un(Cn) = 1
tu vois pas ce que tu peux faire avec tout ça ?
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