Bonjour à tous, je suis bloqué dans un exercice sur les convergences faibles :
Prouver que les suites ci-dessous convergent faiblement vers 0 dans L²(oméga), mais ne sont pas fortement convergentes à cause d'un problème :
1. d'oscillations (la suite oscille de + en +), où la suite définie sur oméga = ]-pi,pi[ est
u_n(x) = (pi)^(-1/2) * cos(nx)
2. d'évanescence (la suite s'évanouit, elle se translate de + en + loin), où la suite est définie sur oméga = R par
u_n(x) = u(x-n) où u est la fonction caractéristique de l'intervalle [0,1]
3. de concentration (la suite se concentre en un point), où la suite est définie sur oméga = ]-1,1[ par
u_n(x) = n^(1/2) * u(nx) où u est la fonction caractéristique de oméga
Et voici mon raisonnement : u_n conv faibl vers 0 ssi l'intégale sur oméga de u_n(x)*h(x) dx tend vers 0 pour tout h dans L²(oméga).
1. J'effectue une intégration par parties et cela a marché (j'obtiens bien 0)
2. J'aboutis à l'intégrale sur [n,n+1] de h(x) dx et en faisant tendre n vers l'infini, j'obtiens 0 aussi
3. Je coince !
D'avance, je vous remercie de m'aider pour confirmer les 2 premières réponses (si ma méthode est bonne et que je ne trouve pas 0 par hasard) et pour me décoincer dans le 3.
NB Je ne pense pas qu'il faut prouver que la conv forte n'a pas lieu dans les 3 cas (l'assistant a dit de ne pas le faire)
Bonjour.
Bonjour,
mais dans tout l'exercice et donc dans 1. aussi, h est dans L²(oméga) (c'est ce que j'ai écris au début de mon raisonnement) => c'est permis, non ?
merci pour 2.
et pour 3. , on pose t=nx ?
Bah justement, ce que je dis, c'est que ce n'est pas permis !
Pour faire une intégration par parties, il faudrait que h soit donc dérivable !!
Quel sens donnes-tu à la dérivée de h si elle n'est pas dérivable ...
Pour la 3), essaye au lieu de demander ...
1. ah oui, c'est au sens des distributions, c'est ça ? => emploi de la formule pour la dérivée d'une distribution
3. je vais essayer...
Inutile de passer par les distributions. (on peut y arriver comme ça, mais ça revient au même, et c'est moins élémentaire)
Tu es arrivé à montrer en intégrant par parties que lorsque est de classe .
Est-ce que tu ne vois pas un moyen d'étendre le résultat à tous les ?
Non, je penses + aux limites de suites de Cauchy qui nous donnent des éléments de L² (j'ai vu que L² est un espace complété de l'espace des fcts de classe C infini et à support compact)
Oui, c'est plus ou moins ça !
Il faut utiliser la densité des fonctions régulières dans . (sans nécessairement parler de complété)
ca a marché et pour le 3. , j'obtiens avec t=nx, n^(-1/2) * intégrale de u(t) dt => on tend bien vers 0 pour n infini
N'oublie pas la fonction test ! Là, tu viens de vérifier qu'il y a convergence forte dans , ce n'est pas le but de l'énoncé.
oh oui, juste, je l'ai bousillé...
j'ai alors n^(-1/2) * intégrale de u(t)*h(t/n) dt
=> pour n infini, h(t/n) -> h(0) = cste et le tour est joué en revenant à mon raisonnement sans h?
Tu ne peux pas dire que , h est une fonction définie presque-partout. Parler de sa valeur en 0 n'a pas de sens !
Néanmoins, on peut conclure autrement.
on majore la valeur absolue de l'intégrale et on est <= à la l'intégrale de la valeur absolue puis un facteur est <= à son suprémum qui est une constante et c'est juste ou je suis à côté ?
Détaille un peu plus, j'ai du mal à suivre ton raisonnement.
Il faut bien passer à la valeur absolue, mais la fin me semble un peu "baclée".
oups pardon
Donc, |intégrale de u(t)*h(t/n) dt| <= intégrale de |u(t)*h(t/n) dt|
<= sup u(t) * intégrale de |h(t/n)|
mais je ne suis pas sûr...
Quand on écris quelque chose, il faut être sur que c'est correct, sinon, c'est qu'on passe à côté. (après, même quand on écris des choses correctes, on n'est pas certain de résoudre un exercice, c'est une autre histoire ...)
N'oublie pas que u n'est pas une fonction quelconque, on peut simplifier grandement les choses.
Il reste aussi à montrer que l'intégrale de tend vers 0.
mais comment simplifier les choses en sachant cela ? pour l'intégrale avec h(t/n) , je ne vois pas non plus que faire ?
Ben pour simplifier, tu remplaces u par son expression ...
Pour l'intégrale de h, écris proprement les choses, avec le facteur , et applique Cauchy-Schwartz par exemple. (n'oublies pas que h est )
et j'en déduis alors qu'on tend bien vers 0 dû à n^(-1/2) qui tend vers 0 et par Cauchy-Schwarz, on a l'intégrale qui est bornée.
De rien, courage pour la suite de tes études.
Tu as choisi un module d'analyse fonctionnelle pour ton parcours ?
en fait, j'ai 60 ECTS par année d'étude et cette année-ci, en 5e polytech, je pouvais choisir des cours à la carte dans la faculté de polytech [et en + un ou plusieurs cours de la faculté de mon choix qui font 6 ECTS au maximum].
A noter que je suis à l'ULB en Belgique.
C'est ainsi que j'ai décidé de prendre des cours de math (puisque c'est ce qui me passionne) mais malheureusement, je suis limité à 6 ECTS max dans la faculté de mon choix (ici des sciences)
=> je suis un cours qui s'appelle analyse fonctionnelle à 5 ECTS.
En 4e polytech, j'ai eu un cours d'analyse fonctionnelle aussi mais les maths en polytech sont moins rigoureuses qu'en "maths purs" => c'est pour ca que par exemple, j'ai vu très brièvement les limsup et liminf par exemple.
Je ne connaissais pas non plus le lemme de Fatou ni le théorème de la convergence dominée de Lebesgue
=> c'est pour cela aussi que j'ai appelé à l'aide
En tout cas, je te remercie pour ta gentillesse et ta patience et bravo pour la réussite de l'exercice
Tu es professeur ?
Non, je ne suis pas professeur, seulement un étudiant en Master 2 Maths recherche.
Si tu ne connais pas les énoncés du théorème de Lebesgue et du lemme de Fatou, je t'invite à lire un cours sur l'intégrale de Lebesgue.
Il y a quelques énoncés très importants à connaître en analyse fonctionnelle. (le théorème de Fubini est aussi primordial, plus des résultats sur les espaces )
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