Bonjour à tous, je viens de faire un exercice et je souhaite savoir si j'ai bon sur les questions dont je ne suis pas sûr de la réponse, voici l'énoncé :

on considère la fonction f définie sur ]0, +infini[ par :
f(x) = lnx+1-1/x

1) déterminer les limites de f en 0 et enn + infini.
Pas de problèmes particuliers.

2) étudier les variations de f sur ]0,+infini[.
En déduire le signe de f(x) sur ]0, +infini[

Voici ce que j'ai fait :
La fonction f est dérivable sur ]0,+infini[ en tant que somme de fonctions dérivables sur ]0, + infini[
f(x)  lnx +1 -1/x
après calculs j'ai :
f'(x) = x+1/x²

Etude du signe de f' :
on a :
x>0 donc x²>0 car la fonction carré est croissante sur R+ donc f' est du signe de "x+1"
et x+1>0 ssi x>-1 or x>0 donc pour tout x appartenant ]0,+infini[on a donc : x+1>0
Ainsi pour tout x appartenant à ]0, + infini[ on : f'(x) >0

tableau de variations :

x             0                                    +infini
signe de f'                          +
var de f   (double barre)    croissante      lim f(x) = + infini
                                                     +infini
lim f(x)= - infini  
x->0
x>0

Cependant, pour déterminer le signe de f , on doit trouver la valeur pour laquelle f s'annule pour pouvoir trouver son signe en vue des limites de f en 0 et + infini, et c'est là où je ne suis pas sûr de mon raisonnement.
Au début, je me suis dit qu'il fallait résoudre :
f(x) = 0
soit lnx + 1 - 1/x =0
cependant, je ne pense  pas qu'on puisse  résoudre algébriquement cette équation ( j'ai essayé mais ça n'aboutit à rien).
Et puis, j'ai vu que f(1) = 0 ( je voudrais savoir si ce coup d'oeil est bon?)
ainsi, j'ai obtenu le tableau de var suivant :

x             0                       1                   +infini
signe de f'                           +
var de f   (double barre)-infini      0    croissante      lim f(x) = + infini
                                                           +infini
Ainsi, j'en déduis que :

x              0            1          +infini
signe de f        -         0        +

3) Pour obtenir la primitive de F de f sur ]0, + infini[ qui s'annule en 1, on a réalisé la recherche suivante à l'aide d'une calculatrice formelle :
intégrale allant de 1 à x de ln(t)+1-1/t = (x-1)ln(x)
Après avoir expliqué la démarche justifier le résultat obtenu par la calculatrice :

Voici ma réponse, mais je ne suis pas sûr :
On a tapé à la calcultrice la définition d'une primitive F d'une fonction f ( continue et dérivable sur I) par :
f(x) = intégrale  allant de a à x de f(x)dx avec a réel . Ici, on a pris a = 1 .

La justification du résultat obtenu à la calculatrice ne m'a pas posé de problème.


4)
a) Démontrer que F est strictement croissante sur [1, +infini[.
J'ai dit que d'après la question 2, on a sur [1,+infini[ : f(x) > ou égal à 0
Or F'(x) = f(x) donc F'(x) > ou égal à 0 ainsi : F est strictement croissante sur [1, +infini[.

Voici le tableau de var obtenu :

x           0                1                  +infini

signe
De F'          -             0               +

Var de f       décroissante  0               croissante
         (double barre)
          lim f(x) = +infini                   lim f(x)          = + infini     (les calculs de limites ne m'ont    
            x--> 0 plus                          x---> + infini                    posé de problème, donc je ne  
                                                                                    détaille pas).                        
                  
b) En déduire que l'équation F(x) = 1-1/e admet une unique solution alpha sur [1, +infini[
donner un encadrement de alpha à 0.1 près .

On a : 1-(1/e) ~ 0.63

J'ai dit que :
*Sur ]0,1[, la fonction F est strictement décroissante, continue ( car dérivable sur cet intervalle) de plus, l'intervalle image est ] 0, + infini[ cependant à cause de la décroissance de F sur cet intervalle, on remarque que 1-(1/e) n'est pas compris sur ]0, + infini[ donc l'équation F(x) = 1- (1/e) n'admet pas de solution sur cet intervalle  ----> JE NE SUIS ABSOLUMENT PAS SUR DE CETTE REPONSE.

*Sur [1, + infini, la fonction F est strictement croissante, continue d'intervalle image ]0, + infini[.
On remarque que de par le fait que F soit strictement croissante sur cet intervalle, alors on en déduit que :
1-(1/e) appartient à cet intervalle image. Donc d'après le corrollaire du TVI; on en déduit que l'équation F(x) = 1-(1/e) admet une unique soulution que l'on notera alpha sur [1, + infini[.

par balayage à la calculette :

  0.36 < alpha < 0.37  car F(0.36) ~ 0.65
                           F(0.37) ~ 0.63 et 1 - (1/e) ~ 0.63

Partie B
Soit les fonctions g et h définies sur ]0, + infini[ par :
g(x) = 1/x et h(x) = ln(x) + 1
On note C et τ les courbes représentatives de g et h. Toutes les aires sont exprimées en unité d'aire.

1) soit A le point d'intersection de τ et de l'axe des abscisses. Déterminer les coordonnées de A.
Cette question ne m'a pas posé de problème, j'ai trouvé à la fin :
A ( 1/e ; 0 )

2) Soit P le point d'intersection de C et  τ . Justifier que le point P a pour coordonnées (1;1)
Comme on ne peut pas résoudre algébriquement g(x) = h(x)  du moins je pense , j'ai dit qu'il fallait vérifier que : g(1) = h(1) = 1
or g(1) = 1/1 = 1
et h(1) = ln1 +1 =1
CQFD
(JE NE SUIS PAS SUR DE CETTE REPONSE)

3) On note A l'aire du domaine délimité par C, τ et les droites d'équations : x =1/e et x = 1.

a) Exprimer A à l'aide de la fonction f. (cette question ne m'a pas posé de problème)
b) Montrer que A = 1 - 1/e ( cette question ne m'a pas posé de problème également).

4) Soit un réel t>1. On note B(t) l'aire du domaine délimité par C, τ et les droites d'équations x = 1 et x = t .

a) Montrer que B(t) = t lnt - ln t
Cette question ne m'a pas posé de problème.
J'ai remarque à a fin que : B(t) = F(t)

b) Peut-on trouver une valeur t telle que B(t) = A?
Si oui, y'a-t-il unicité de la solution t?

B(t) = A revient à dire que : B(t)-A = 0
or B(t)-A = xln(x)-lnx - 1 +1/e

On pose :
K(t) = x ln(x) -1 + (1/e)
la fonction K est dérivable sur ]1, + infini[en tant que somme de fonctions dérivable sur ]1, +infini[
K'(t) = lnt +1 -(1/t)
Or K'(t) = f(t) ---> fonction f de la partie A!
Donc le signe de K'(t) est celui de f !

ainsi, j'ai :

t                  1                       +infini
signe de K'        0               +
Var de K        1/e - 1           croissant         lim K(t)      = + infini
                                                    t--> + infini                 ( je ne détaille pas le calcul de la limite car il ne m'a pas posé de problèmes)

J'ai à nouveau appliquer le corrollaire du TVI
*Sur ]1, + infini[, la fonction K est strictement croissante, continue ( car dérivable sur ]1, + infini[) et d'intervalle image :
] (1/e) -1 , + infini [ contenant 0 car (1/e)-1~ -0.63
Donc d'après le corrollaire du TVI l'équation K(t) = 0 admet une unique solution U sur ]1, + infini [
Par balayage à la calculatrice, on a :
1.94<U< 1.95 car : K(1.94) ~ -9 x 10^(-3)
                   K(1.95)~ 2.3 x 10^(-3)
Donc on peut trouver une valeur de t telle que B(t) = A, le corrollaire du TVI justifiant l'unicité de la solution.
(JE NE SUIS ABSOLUMENT PAS SUR DE CETTE REPONSE EGALEMENT).

Voilà, voilà, j'espère avoir bien réussi cet exercice, et j'aurai de votre aide au plus vite svp
Merci d'avance