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Exercice d'arithmétique
Bonsoir tout le monde , je n'arrive pas à trouver la solution d'un exercice et j'ai besoin de votre aide svp , voila l'énoncé :
Soient m et n des nombres naturels non nuls tels que mn+1 est divisible par 24. montrer que m+n est aussi divisible par 24.
j'ai réussi à montrer que m et n sont impaires tq le premier couple qui réalise cette propriété est (19,5) et j'ai aussi penser à : mn+1+m+n=(m+1)(n+1) mais je n'ai pas réussi à résoudre le problème :/
Bonsoir Kenavo,
Tu peux chercher les couples tels que mn est congru à -1 mod24..
Je te laisse avec Kenavo.
Bonsoir,
Je connais une solution avec les congruences, mais vu que tu es en Première....
Ce n'est pas un problème car c'est un exercice de type olympiade et je connais déja les congruences donc cela ne me pose pas de problèmes ^^
Bonjour,
Par hypothèse, les entiers naturels et
sont tous deux non nuls et sont tels que
divise
, ce qui impose
a) Pour et
d'être impairs. En effet, dans le cas contraire, nous aurions
et
, ce qui serait en contradiction notre hypothèse.
b) Pour et
de ne pas être divisibles par
. En effet, dans le cas contraire, l'on aurait
et
, ce qui nous conduirait à une contradiction.
Remarquons à présent que l'on a les résultats suivants :
1) Si est un entier naturel impair, alors
nécessairement. En effet, l'un des deux entiers pairs
et
est divisible par
.
2) Si est un entier naturel, l'on sait que
divise l'un des trois entiers
,
ou
. Partant, si
n'est pas divisible par
, alors
nécessairement.
3) Il résulte de 1) et 2) que, si est un entier naturel impair non divisible par
, alors
.
Le résultat découle alors du résultat 3) appliqué à ou à
en vertu des points a) et b), et de ce que
Mes sources : 
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