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Niveau Première BacTechno
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exercice d arithmetique

Posté par
AZER1957
19-04-21 à 20:36

bonjour
priere me donner un coup de pouce pour résoudre cet exercice
A=7n²+15n+20    B=7n+1   n entier naturel  
1)  montrer que PGCD (A,B)=PGCD (18,B)
2) montrer PGCD (A,B)=6     ssi   n  congru 11   (18)   ou    n  congru 17   (18)  
la premiere question est facile  (utilisation de l algorithme d Euclide )
Deuxieme question  ce que j ai fait  
PGCD (A,B)=6  donc  PGCD (18,B)=6
donc 6|7n+1  d ou il existe t  entier tq 7n+1=6t donc 7n-6t=-1 ( *)
(-1,1) sol particuliere  de   ( *)
soit en resolvant   ( *)  je trouve  n =6k -1 et  t=7k+1
donc je nai rien démontré

Posté par
lake
re : exercice d arithmetique 19-04-21 à 21:49

Bonsoir,

La première idée qui me vient à l'esprit :

il faut que 6 divise B et que 18 ne divise pas B

Donc une disjonction des cas modulo 18 pour 7n+1.

Pas terrible mais faute de mieux ...

Posté par
lake
re : exercice d arithmetique 19-04-21 à 22:10

Un tout petit complément :

il faut et il suffit que :

  B\equiv 6\,\,[18] ou B\equiv 12\,\,[18]

Posté par
carpediem
re : exercice d arithmetique 19-04-21 à 22:24

salut

un sens est facile ...

pgcd (18, 7n + 1) =6 <=> pgcd (18 , n + 1) = 6

donc n + 1 = 6 + 18k ou n + 1 = 12 + 18k ou n + 1 = 18 + 18k

et on vérifie que seuls les deux derniers cas conviennent

Posté par
lake
re : exercice d arithmetique 19-04-21 à 22:32

Un peu moins "laborieux" peut-être.
Je reste persuadé qu'il y a mieux .

Posté par
AZER1957
re : exercice d arithmetique 19-04-21 à 23:34

bonsoir
je  n arrive pas à montrer cette équivalence  pgcd (18, 7n + 1) =6 <=> pgcd (18 , n + 1) = 6
  prière m 'eclaircir  ce passage Carpediem et merci

Posté par
flight
re : exercice d arithmetique 20-04-21 à 00:06

salut

pas trop d'idées aussi à part que la solution immédiate est de la forme
n = 6k+5   et qu'en posant  k = 3k'+1  ou k = 3k'+2   on obtient bien
n=18k+11 et n = 18k+17    avec  3k'+1 et 3k'+2 qui décrivent tout N

Posté par
carpediem
re : exercice d arithmetique 20-04-21 à 00:29

lake : j'avoue que ce n'est guère mieux ...

pour reprendre l'idée de AZER1957 et qui découle sur mon idée :

7n + 1 = 6k <=> n = 6(k - n - 1) + 5 <=> n = 6K + 5

puis on essaie à nouveau ...

de toute façon je ne pense pas qu'il y aie plus optimal que de lister les cas puisque les diviseurs de 18 sont 1, 2, 3, 6, 9 et 18 et qu'on veut la seule issue 6 ...

Posté par
AZER1957
re : exercice d arithmetique 20-04-21 à 02:33

salut
n = 6k+5   k entier
  on a k = 3k' ou  k = 3k'+1  ou k = 3k'+2   on obtient bien
   n=18k' +5   ou   n=18k'+11 et n = 18k'+17  

si  n=18k' +5 alors  7n+1=126k'+36=18(7k'+2)  et 18=18*1 les nombres  1 et7k'+2 sont premiers entre eux  donc  PGCD(18,B)=18
si   n =18k'+11   alors  7n+1=126k'+78=6(21k'+13)    et 18=6*3 remarquons que  21k'+13 et  3 sont premiers entre eux donc  PGCD(18,B)=6
si      n = 18k'+17alors  7n+1=126k'+120=6(21k'+20)  et  18=6*3   21k'+20 et  3 sont premiers entre eux donc  PGCD(18,B)=6

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : exercice d arithmetique 20-04-21 à 08:34

Bonjour,
Une autre piste ?
A l'aide de l'algorithme d'Euclide, on peut écrire le 1 du 7n+1 de B ainsi :
1 = 218 - 57

D'où B = 7(n-5) + 218.
Et PGCD(18,B) = PGCD(18, 7(n-5)) = PGCD(18, n-5).

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : exercice d arithmetique 20-04-21 à 09:46

n-5 multiple de 6 sans être multiple de 18 est équivalent à \; n-5 = 6k \; avec k non multiple de 3.
k non multiple de 3 \; est équivalent à \; k = 3k'1.

n-5 multiple de 6 sans être multiple de 18 est équivalent à \; n-5 = 6(3k'1)
n-5 = 6(3k'1) \; \; n = 18k'+5 6

Posté par
lake
re : exercice d arithmetique 20-04-21 à 13:04

Bonjour,

  Autre solution :

  PGCD(B,18)=6\Longleftrightarrow \{B\equiv 6\;\;[18]\text{ ou }B\equiv 12\;\;[18]\}

C'est à dire:

  \begin{cases}7n\equiv 5\;\;[18]\\\text{  ou}\\7n\equiv 11\;\;[18]\end{cases}

L'inverse modulo 18 de 7 est 13:

  \begin{cases}n\equiv 5\times 13\equiv 11\;\;[18]\\\text{   ou}\\n\equiv 11\times 13\equiv 17\;\;[18]\end{cases}

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : exercice d arithmetique 20-04-21 à 13:46

Oui, c'est plus joli comme ça
Et pour trouver l'inverse de 7 modulo 18, l'algorithme d'Euclide peut être utilisé.

Posté par
lake
re : exercice d arithmetique 20-04-21 à 13:51

Il faut tout de même prouver proprement la 1ère équivalence

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : exercice d arithmetique 20-04-21 à 14:21

Un peu comme à 9h46 :

Si PGCD(B,18) = 6 \; alors \; 6 divise B et 18 ne divise pas B.
Donc \; B = 6k \; avec k non multiple de 3 .
Donc \; k = 3k' 1 .
Ce qui donne \; B = 18k' 6 .

Réciproquement, PGCD(18k'6 , 18) = PGCD(6 , 18) = 6 .

Posté par
carpediem
re : exercice d arithmetique 20-04-21 à 14:28

quelle que soit la façon de le rédiger le travail se décompose de toute façon en deux étapes (plus ou moins imbriquées explicitement ou implicitement) :

première étape : pgcd (18, b) = 6 => 6 divise b

deuxième étape : pgcd (18, b) = 6 => 9 ne divise pas b

(car si 6 et 9 divise b alors le pgcd est 18)

Posté par
AZER1957
re : exercice d arithmetique 20-04-21 à 17:53

bonjour
merci pour vos interactions et a bientot

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : exercice d arithmetique 20-04-21 à 17:55

De rien, et à une autre fois sur l'île \;



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