bonjour
priere me donner un coup de pouce pour résoudre cet exercice
A=7n²+15n+20 B=7n+1 n entier naturel
1) montrer que PGCD (A,B)=PGCD (18,B)
2) montrer PGCD (A,B)=6 ssi n congru 11 (18) ou n congru 17 (18)
la premiere question est facile (utilisation de l algorithme d Euclide )
Deuxieme question ce que j ai fait
PGCD (A,B)=6 donc PGCD (18,B)=6
donc 6|7n+1 d ou il existe t entier tq 7n+1=6t donc 7n-6t=-1 ( *)
(-1,1) sol particuliere de ( *)
soit en resolvant ( *) je trouve n =6k -1 et t=7k+1
donc je nai rien démontré
Bonsoir,
La première idée qui me vient à l'esprit :
il faut que 6 divise et que 18 ne divise pas
Donc une disjonction des cas modulo 18 pour .
Pas terrible mais faute de mieux ...
salut
un sens est facile ...
pgcd (18, 7n + 1) =6 <=> pgcd (18 , n + 1) = 6
donc n + 1 = 6 + 18k ou n + 1 = 12 + 18k ou n + 1 = 18 + 18k
et on vérifie que seuls les deux derniers cas conviennent
bonsoir
je n arrive pas à montrer cette équivalence pgcd (18, 7n + 1) =6 <=> pgcd (18 , n + 1) = 6
prière m 'eclaircir ce passage Carpediem et merci
salut
pas trop d'idées aussi à part que la solution immédiate est de la forme
n = 6k+5 et qu'en posant k = 3k'+1 ou k = 3k'+2 on obtient bien
n=18k+11 et n = 18k+17 avec 3k'+1 et 3k'+2 qui décrivent tout N
lake : j'avoue que ce n'est guère mieux ...
pour reprendre l'idée de AZER1957 et qui découle sur mon idée :
7n + 1 = 6k <=> n = 6(k - n - 1) + 5 <=> n = 6K + 5
puis on essaie à nouveau ...
de toute façon je ne pense pas qu'il y aie plus optimal que de lister les cas puisque les diviseurs de 18 sont 1, 2, 3, 6, 9 et 18 et qu'on veut la seule issue 6 ...
salut
n = 6k+5 k entier
on a k = 3k' ou k = 3k'+1 ou k = 3k'+2 on obtient bien
n=18k' +5 ou n=18k'+11 et n = 18k'+17
si n=18k' +5 alors 7n+1=126k'+36=18(7k'+2) et 18=18*1 les nombres 1 et7k'+2 sont premiers entre eux donc PGCD(18,B)=18
si n =18k'+11 alors 7n+1=126k'+78=6(21k'+13) et 18=6*3 remarquons que 21k'+13 et 3 sont premiers entre eux donc PGCD(18,B)=6
si n = 18k'+17alors 7n+1=126k'+120=6(21k'+20) et 18=6*3 21k'+20 et 3 sont premiers entre eux donc PGCD(18,B)=6
Bonjour,
Une autre piste ?
A l'aide de l'algorithme d'Euclide, on peut écrire le 1 du 7n+1 de B ainsi :
1 = 218 - 57
D'où B = 7(n-5) + 218.
Et PGCD(18,B) = PGCD(18, 7(n-5)) = PGCD(18, n-5).
n-5 multiple de 6 sans être multiple de 18 est équivalent à n-5 = 6k avec k non multiple de 3.
k non multiple de 3 est équivalent à k = 3k'1.
n-5 multiple de 6 sans être multiple de 18 est équivalent à n-5 = 6(3k'1)
n-5 = 6(3k'1) n = 18k'+5 6
Oui, c'est plus joli comme ça
Et pour trouver l'inverse de 7 modulo 18, l'algorithme d'Euclide peut être utilisé.
Un peu comme à 9h46 :
Si PGCD(B,18) = 6 alors 6 divise B et 18 ne divise pas B.
Donc B = 6k avec k non multiple de 3 .
Donc k = 3k' 1 .
Ce qui donne B = 18k' 6 .
Réciproquement, PGCD(18k'6 , 18) = PGCD(6 , 18) = 6 .
quelle que soit la façon de le rédiger le travail se décompose de toute façon en deux étapes (plus ou moins imbriquées explicitement ou implicitement) :
première étape : pgcd (18, b) = 6 => 6 divise b
deuxième étape : pgcd (18, b) = 6 => 9 ne divise pas b
(car si 6 et 9 divise b alors le pgcd est 18)
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