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Exercice d'entraînement I : Divisibilité et Congruence
Bonjour!
Je souhaiterais que quelqu'un puisse m'aider pour un exercice d'entraînement.
Je remercie d'avance ceux ou celles qui prendront le temps de m'aider.
Énoncé:
1. Montrez que pour tout entier naturel n, 51n+4 n'est pas divisible par 17.
1. En déduire un nombre compris entre 3000 et 3100 non divisible par 17.
Réponses:
1. Dire que 51n+4|17 équivaut à dire que 51n|17 et 4|17, puisque si a|b et c|b alors toutes combinaisons linéaires de a et b est un multiple de b. Or 4 n'est pas divisible pas 17, donc 51n+4 n'est pas divisible par 17.
2. Là je bloque ^^'.
Sur ce je vous souhaite une bonne journée!
Bonjour ;
Dire que 51n+4|17 équivaut à dire que 51n|17 et 4|17
Je ne suis pas d'accord avec ce raisonnement. "d divise a+b" n'est pas équivalent à "d divise a et d divise b" , ça ne marche que dans un sens : Si d divise a et d divise b , Alors d divise a+b.
Tu peux faire avec les congruences par exemple :
Bonsoir,
tout d'abord je vous prie de m'excuser de ma réponse tardive. Mais aussi à vous remercier de votre aide, qui m'a permis de réaliser les erreurs que j'avais faites. Sinon je souhaiterais vous poser quelques questions:
1: Pouvons nous faire cet exercice en utilisant la divisibilité ?
2: Comme dans mon premier post, pourriez vous m'expliquer la démarche qu'il faut suivre pour la question 2 s'il vous plaît ?
Sur ce je vous souhaite une bonne journée!
1: Pouvons nous faire cet exercice en utilisant la divisibilité ?
Oui , avec un raisonnement par l'absurde par exemple.
On sait que 17 divise 51n. Si 17 divisait 51n+4 , alors 17 diviserait 51n+4-51n = 4 , ce qui n'est pas le cas. Donc 17 ne divise pas 51n+4.
2: Comme dans mon premier post, pourriez vous m'expliquer la démarche qu'il faut suivre pour la question 2 s'il vous plaît ?
Il s'agit de prendre un nombre compris entre 3000 et 3100 qui soit "de la forme 51n+4".
Par exemple 3064 = 51*60+4
salut
51 = 17.3
51.n = 17.3.n
51n+4 = 17.(3n)+ 4 on voit donc ici que le reste de la division euclidienne de 51n+4 par 17 est 4
donc 17 ne divise pas 51n+4.
2) il faut chercher n tel que
3000 
(51n + 4) 3100
donne 600 n 619
en prenant par exemple n = 603 on a 5.603 +4 = 3019 non divisible par 17
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