Bonjour à tous,
J'ai un exercice de MPSI à résoudre que voici :
Soit a, b > 0, avec a < b. Soit f une fonction continue sur R+.
Montrer que si f(0) = 0 alors l'intégrale de f(t)/t de ax à bx tend vers 0 quand x tend vers 0+.
Mon problème est que je vois très bien que ce résultat est vrai, mais je n'arrive pas à trouver de preuve claire et efficace.
Merci d'avance !
Bonjour,
On peut trouver le résultat en passant par la définition de "tend vers 0"
Et en prenant x petit, tu peux regarder ce que donne l'inégalité triangulaire sur l'intégrale.
Merci pour vos réponses, je pense avoir les idées beaucoup plus claires maintenant
Dans la suite de mon exo, je dois montrer que cette même intégrale, dans le cas général (sans le f(0)=0) tend vers f(0)*ln(a/b) :
Il est clair qu'on doit réaliser une intégration par parties, primitiver 1/t , dériver f(t) pour obtenir [f(ux)*ln(u)] de a à b, + une intégrale qui fait intervenir f' et qui va tendre vers 0.
Mon problème est le suivant, comment utiliser f' alors qu'à aucun moment on ne me dit quelle est dérivable (elle est juste continue), cela pourrait même fausser le calcul si f' tendait vers +infini en 0.
Merci encore
La première question donne des informations pour une fonction nulle en 0.
Et là on te demande quelque chose qui fait intervenir la valeur de la fonction en 0.
Ca me semble plus pertinent de chercher à se ramener au premier cas.
En posant g(t) = f(t) - f(0) par exemple, et en regardant ce que ça donne.
Par ailleurs, dans un cas où tu n'as pas la réponse, mieux vaut privilégier "on dirait ..." à "il est clair ...".
Ou même "une idée serait ..."
je dirai même plus :
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