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Niveau Maths sup
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Exercice d'intégration

Posté par
bigben06
27-03-21 à 21:15

Bonjour à tous,

J'ai un exercice de MPSI à résoudre que voici :

Soit a, b > 0, avec a < b. Soit f une fonction continue sur R+.
Montrer que si f(0) = 0 alors l'intégrale de f(t)/t de ax à bx tend vers 0 quand x tend vers 0+.

Mon problème est que je vois très bien que ce résultat est vrai, mais je n'arrive pas à trouver de preuve claire et efficace.
Merci d'avance !

Posté par
Maru0
re : Exercice d'intégration 27-03-21 à 21:45

Bonjour,

On peut trouver le résultat en passant par la définition de "tend vers 0"

Et en prenant x petit, tu peux regarder ce que donne l'inégalité triangulaire sur l'intégrale.

Posté par
carpediem
re : Exercice d'intégration 27-03-21 à 21:51

salut

\int_{ax}^{bx}\dfrac {f(t)} t dt = \int_a^b \dfrac {f(ux)} u du ...

Posté par
bigben06
re : Exercice d'intégration 27-03-21 à 23:50

Merci pour vos réponses, je pense avoir les idées beaucoup plus claires maintenant

Dans la suite de mon exo, je dois montrer que cette même intégrale, dans le cas général (sans le f(0)=0) tend vers f(0)*ln(a/b) :
Il est clair qu'on doit réaliser une intégration par parties, primitiver 1/t , dériver f(t) pour obtenir [f(ux)*ln(u)] de a à b,     + une intégrale qui fait intervenir f' et qui va tendre vers 0.

Mon problème est le suivant, comment utiliser f' alors qu'à aucun moment on ne me dit quelle est dérivable (elle est juste continue), cela pourrait même fausser le calcul si f' tendait vers +infini en 0.

Merci encore

Posté par
Maru0
re : Exercice d'intégration 28-03-21 à 00:01

La première question donne des informations pour une fonction nulle en 0.
Et là on te demande quelque chose qui fait intervenir la valeur de la fonction en 0.

Ca me semble plus pertinent de chercher à se ramener au premier cas.
En posant g(t) = f(t) - f(0) par exemple, et en regardant ce que ça donne.

Par ailleurs, dans un cas où tu n'as pas la réponse, mieux vaut privilégier "on dirait ..." à "il est clair ...".
Ou même "une idée serait ..."

Posté par
carpediem
re : Exercice d'intégration 28-03-21 à 09:59

je dirai même plus :

bigben06 @ 27-03-2021 à 23:50

Il est clair qu'on doit...
devoir je ne sais pas ... on peut ... peut-être ...

mon précédent msg donne immédiatement le résultat quelle que soit la valeur de f(0) ... et je n'ai pas fait d'IPP mais un changement de variable ...

x \to 0 \Longrightarrow ux \to 0

donc pour tout h > 0 .... => f(0) - h < f(ux) < f(0) + h ...

il suffit alors de diviser par u  cette inégalité et d'intégrer entre a et b ...

puis faire tendre h vers 0 ...



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