Niveau concours

Exercice d'oral 2 Equations différentielles

Posté par
Morganiya 12-05-10 à 20:43

Bonjour,

J'ai un problème pour résoudre un exercice d'oral 2 (donc je suis un peu honteuse : niveau terminale bien que assez difficile !)

On se propose de déterminer les fonctions f définies et dérivables sur et vérifiant pour tout réel x l'équation : (E): f'(x)=f(-x).

1. Démontrer que la fonction nulle est solution de cette équation.

2. Dans cette question, et les suivantes, la fonction f est supposée non identiquement nulle. Après avoir prouvé que f est deux fois dérivable, trouver une équation linéaire du second ordre (E') admettant f comme solution.

  a) Résoudre (E').
  b) En déduire les fonctions f solutions de (E).

2. En admettant que l'équation (E) possède une unique solution vérifiant f(0)=1, proposer un algorithme qui permette d'obtenir une représentation graphique approchée de cette solution sur l'intervalle [-3,3].

Pour la question 1., je le fait avec le quotient de la formule d'une dérivée.
Pour le 2, le fait qu'elle est deux fois dérivable, je me disait que je pouvais dire :
  f''(x)=(f'(x))'=-f'(-x)=-f(x)   et f(x) définie donc f''(x) définie sur

Et ensuite je bloque ...

Merci pour votre aide et bon gros week-end !

Morganya

Posté par re : Exercice d'oral 2 Equations différentielles 12-05-10 à 21:11

Ton équation différentielle est f''(x)=-f(x)

Essaye de multiplier chaque membre de l'égalité par f'(x)

Posté par re : Exercice d'oral 2 Equations différentielles 12-05-10 à 22:43

Je ne comprends pas. Si mon équation différentielle est f''(x)=-f(x) alors est-ce que ma justification pour dire qu'elle est deux fois dérivable est bonne ?

Et pourquoi multiplier par f(x) chaque membre ? Dans quel but ?

Merci de m'aider

Posté par re : Exercice d'oral 2 Equations différentielles 13-05-10 à 03:43

1) non! la fonction nulle c'est f(x) = 0 x
donc la derivée de 0 c'est 0 et on a bien 0=0 ce qui verifie l'équation
2)f est dérivable une fois puiqu'elle verifie l'équation ! Puis je dérive cette équation et la dérivee seconde est égale a la derivee premiere donc f'' existe!
Apres c'est une équation dif du second ordre à coefficients constants sans second membre que l'on resoud avec l'équation caractéristique r²+1=0
La solution générale sera: Ae^+ix+Be^-ix
3) alors on aura A+B=1 et par suite A(e^+ix-e^-ix)ou 2i A sin (x)
Pour trouver A on se sert de la condition initiale et don A=1/2i.
Alors c'est sin (x) la solution mais d'apres l'enoncé il faut la tracer avec un algorithme