Bonjour, j'ai un exo assez long que j'ai bien commencé ... (enfin ce que j'ai pu quoi) et où je bloque complètmeent ... pourriez vous m'aider svp

Je doix démontrer que pour tout n>k, on, a légalité :
C(n,k) se lit k parmi n (combinatoir
C(k,k) + C(k+1,k)+ C(k+2,k)+ ... C(n,k) = C(n+1,k+1)
Je l'ai démontré par récurrence  mais je dois trouver une autre justification en interprétant cette égalité en termes de cardinaux
J'ai pensé qu'il faut peut etre dire que le C(n+1,k+1) comme le cardinal de l'ensemble des parties de k+1 éléments prises parmi l'ensemble [1,n+1] --> je note ca en cours
P(k+1)([1,n+1])... mais je suis bloqué.

La suite j'ai commencé mais je suis bloqué, pourriez vous me corriger et m'aider svp

Voilà la suite Pour tout p entier naturel non nul et pour tout m naturel on apelle e(p,m) l'ensemble des p-uples (x1,x2,...xp) d'entiers naturels vérifiant x1+x2+... + xp=m et on note E(p,m) me cardo,am de e(p,m)
Par ex : (1,0,4,1)appartient à e(4,6).

a) J'ai trouvé E(1,m) = E(p,0)  = 1
b) déterminer E(2,m)
j'ai trouvé si m pari : m/2 + 1
si m impair : E(m/2) + 1
c) indiquer la valeur de E(p,1)
il faut p nombres naturels tels que la somme vaut 1, donc il y en a un seul qui vaut 1 et les autres valent p-1)
On choisit celui qui vaut 1 parmi les p nombres
C(p,1) = p ... je ne sais pas si c'est bon ......


2) On suppose p=3
Soit f       :e(3,m) --> P(2)([0,m+1] définie par
f [x1,x2,x3)] = {x1,x1+x2+1}

Je dois vérifier que f est une application du premier ensemble dans le deuxieme
puis que f est bijective pour trouver E(3,m)

alors là je commence à bloquer ...
x1+x2+x3 = m
Donc x1 <=  m et x1+x2<=m d'où le résultat .. par contre pour la bijection ....
Je sais qu'apres pour trouver E(3,m) on se sert de la bijection et on trouve 2^(m+2)


3) Pour p>=2 montrer que :
E(p,m) = E(p-1,0) + E(p-1,1).... + E(p-1,m) en distinguant les valeurs de xp... là je ne trouve pas  
montrer alors par récurrence que E(p,m) = C(m',p' où m' et p' ont des expressions à préciser en fonction de m et p ... là je bloque.....

4) Si x1, x2;... xp sont tous non nuls, combien de p-uples a-t-on vérifiant x1 + x2 +... xp = m ?
Je me disais qu'il faut retrancher à ce qu'on a précédemment
C(p,1) (C(p,2) ... C(p,p-1) ... mais ça me semble bizarre....

5) pour tout p non nul et m naturel on note f(p,m) l'ensemble des p-uples d'entiers naturels vérifiant
x1+x2+...+xp <ou= m et F(p,m) le cardinal de f(p,m).
Définir une bijection entre f(p,m) et e(p',m')...... en déduire F(p, m) [la déduction à chaque fois est facile... quand on a la bijection].

Soit p et n deux entiers naturrels non nuls
Déterminer le nombre d'applications croissantes(au sens large de [1,p] dans [0,n-1] on défionira une bijection tre l'ensemble C de ces applications croissante et f(p',m') avec p',m' à préciser...

Autant le début était faisable, autant la fin me semble incompréhensible... Aidez moi svp ça me hante depui le début des vacances... merci d'avcance