Annuler
connectez vous
- Arithmétique : divisibilité, PGCD et PPCM, Nombres premiers
- Des mathématiciens célèbres : Fermat et Gauss
- Le raisonnement par récurrence : principe et exemples rédigés
- Fonction exponentielle - Fiche de Cours terminale
- Fiche sur les nombres complexes - terminale
- Limites de fonctions - Cours sur les limites
- Cours sur les suites en Terminale S
Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques LycéeOn parle exclusivement de maths, niveau lycée. TerminaleForum de terminale ArithmétiqueTopics traitant de Arithmétique [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau terminale
Exercice de congruences 2
Posté par Aldebarran
Bonjour,
J'ai besoin d'aide pour un exercice. Pour l'instant, je suis coincé. Voici l'énoncé :
On considère la suite (u(n)) d'entiers naturels définie par u(0)=1 et, pour tout n entier naturel, u(n+1)=10u(n)+21
1.a. Calculer u(1), u(2) et u(3).
b. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel, 3u(n)=10^(n+1)-7
c. En déduire, pour tout entier naturel n, l'écriture décimale de u(n).
On se propose maintenant d'étudier la divisibilité des termes de la suite (u(n)) par certains entiers.
2. Démontrer que, pour tout entier naturel n, u(n) n'est divisible ni par 2, ni par 3, ni par 5.
3.a. Démontrer que pour tout entier naturel n, 3u(n)≡4-(-1)^n [11]
b. En déduire que, pour n>=0, u(n) n'est pas divisible par 11.
Voici ce que j'ai fait :
1.a. u(1)=10u(0)+21=10*1+21=31
u(2)=10u(1)+21=10*31+21=331
u(3)=10u(2)+21=10*331+21=3 331
b. Je ne suis pas sûr de ma réponse à cette question. On doit démontrer que 3u(n+1) = 10^(n+2)-7 -> 3(10u(n)+21)=10^(n+2)-7
Pour tout n ∈ ℕ, on note P(n) l'égalité 3u(n)=10^(n+1)-7.
Initialisation : u(0)=1 et 10^(0+1)-7=10-7=3=3u(0) donc P(0) est vraie.
Hérédité : on suppose qu'il existe n ∈ ℕ tel que P(n) soit vraie. Ainsi :
3u(n)=10^(n+1)-7 d'après l'hypothèse de récurrence
Je ne sais pas comment je dois continuer. Dois-je utiliser les valeurs de u(n+1) ou de 3u(n+1) ?
Je n'ai pas fait la suite.
Merci.
Ensuite, ce que tu veux démontrer à savoir P(n) 
P(n+1), le principe est bon.
Tu pars de 3*Un+1 = 3*(10*Un+21)=10*3*Un+63
Puis tu remplaces 3*Un par ton hypothèse de récurrence.
J'avais déjà pensé à ça, mais je n'arrive pas à retrouver le -7
Voilà quand même ce que je trouve :
3u(n+1)=3(10u(n)+21)
3u(n+1)=10*3u(n)+63
3u(n+1)=10*3(10^(n+1)-7)+63 d'après l'hypothèse de récurrence
3u(n+1)=3(10^(n+1)*10-70)+63
3u(n+1)=3(10^(n+2)-70)+63
Je devrais avoir 3u(n+1)=10^(n+2)-7
To passage de la ligne 3u(n+1)=10*3u(n)+63 à la ligne
3u(n+1)=10*3(10^(n+1)-7)+63 est faux.
C'est 3*Un qui vaut 10n+1-7. Toi tu as fait comme si c'était Un qui vallait 10n+1-7.
Reprends à partir de la ligne erronnée.
Ok, donc là ça devrait être bon.
3u(n+1)=3(10u(n)+21)
3u(n+1)=10*3u(n)+63
3u(n+1)=10*(10^(n+1)-7)+63
3u(n+1)=10*10^(n+1)-70+63
3u(n+1)=10^(n+2)-7 donc P(n+1) est vraie
Et je conclus.
Je ne comprends pas la c). Faut-il qu'à partir de ce que j'ai fait précédemment, je trouve quelque chose comme N = a(n+1) a(n) ... a(1) a(0) ?
Je n'ai pas eu de cours là-dessus, juste quelque minutes d'explication avant le DS...
pour la 1c, c'est un peu neuneu :
3*Un=10n+1-7
donc 3*Un s'écrit 100....0 - 7 avec (n+1) zéro derrière le 1
ca s'écrit aussi 9...93 avec (n) neuf devant le 3 (tu peux utiliser ta calculette pour t'en convaincre).
Enfin Un=(9...93)/3 = 3...31 avec (n) trois devant le 1
Oui, pour la question 2 tu vas utiliser cette écriture Un= 3...31 où tu as n fois le chiffre 3.
Il faut connaître le caractère de divisibilité par 2, par 5 et par 3 pour répondre à la question.
Est-ce correct si je rédige ceci pour la c :
3u(n) = 10^(n+2)-7
donc 3u(n) peut s'écrire 10...0-7 avec n+1 zéro derrière le 1
et aussi 9...93 avec n zéro devant le 3
donc u(n) = (9...93)/3=(3...31) avec n trois devant le 1
En l'absence de cours, je n'ai aucune idée de ce qui est autorisé ou non.
Pour la suite j'ai trouvé deux manières de faire, je ne sais pas laquelle est correcte.
J'ai trouvé ça :
u(n)=3...31
u(n) a pour chiffre des unités 1, donc u(n) est un nombre impair, donc u(n) n'est pas divisible par 2.
De plus, 1 n'est pas un multiple de 3, donc 3+...+3+1 n'est pas divisible par 3, donc u(n) n'est pas divisible par 3.
Enfin, un nombre est divisible par 5 que si son chiffre des unités est 0 ou 5, donc u(n) n'est pas divisible par 5.
Et également ça :
u(n)=3...31
u(n)=3...32+1 donc u(n)≡1[2] donc u(n) n'est pas divisible par 2.
u(n)=3...33-2 donc u(n)≡-2[3] donc u(n) n'est pas divisible par 3.
Aldebarran @ 10-02-2021 à 16:50
Pour la suite j'ai trouvé deux manières de faire, je ne sais pas laquelle est correcte.
J'ai trouvé ça :
u(n)=3...31
u(n) a pour chiffre des unités 1, donc u(n) est un nombre impair, donc u(n) n'est pas divisible par 2. --> Correct
De plus, 1 n'est pas un multiple de 3, donc 3+...+3+1 n'est pas divisible par 3, donc u(n) n'est pas divisible par 3. --> Non. La justification n'est pas la bonne. Il faut dire que la somme des chiffres qui composent Un est égale à 3*n+1. Or pour être divisible par 3, un nombre doit avoir la sommes de ses chiffres multiple de 3. Ce qui n'est pas le cas pour Un.
Enfin, un nombre est divisible par 5 que si son chiffre des unités est 0 ou 5, donc u(n) n'est pas divisible par 5.
Et également ça :
u(n)=3...31
u(n)=3...32+1 --> c'est plutôt 3...30+1 donc u(n)≡1[2] donc u(n) n'est pas divisible par 2. --> ok
u(n)=3...33-2 donc u(n)≡-2[3] --> aussi
1 [3] donc u(n) n'est pas divisible par 3. --> ok
Pour la suite j'ai trouvé deux manières de faire, je ne sais pas laquelle est correcte.
J'ai trouvé ça :
u(n)=3...31
u(n) a pour chiffre des unités 1, donc u(n) est un nombre impair, donc u(n) n'est pas divisible par 2. --> Correct
De plus, 1 n'est pas un multiple de 3, donc 3+...+3+1 n'est pas divisible par 3, donc u(n) n'est pas divisible par 3. --> Non. La justification n'est pas la bonne. Il faut dire que la somme des chiffres qui composent Un est égale à 3*n+1. Or pour être divisible par 3, un nombre doit avoir la sommes de ses chiffres multiple de 3. Ce qui n'est pas le cas pour Un.
Enfin, un nombre est divisible par 5 que si son chiffre des unités est 0 ou 5, donc u(n) n'est pas divisible par 5.
Et également ça :
u(n)=3...31
u(n)=3...32+1 --> c'est plutôt 3...30+1 donc u(n)≡1[2] donc u(n) n'est pas divisible par 2. --> ok
u(n)=3...33-2 donc u(n)≡-2[3] --> aussi
1 [3] donc u(n) n'est pas divisible par 3. --> ok Donc globalement correct à part la divisibilité par 3 au début.
Aldebarran @ 10-02-2021 à 17:02
Et j'ai oublié u(n) = 3...30 + 1 donc u(n) ≡ 1[5] donc u(n) n'est pas divisible par 5. --> ok
Et j'ai oublié u(n) = 3...30 + 1 donc u(n) ≡ 1[5] donc u(n) n'est pas divisible par 5. --> ok
Les 2 approches sont bonnes. J'ai une petite préférence pour le raisonnement avec les congruences vu que c'est le thème de l'exercice.
Bonjour,
je te rappelle que 3*Un=10n+1-7.
Tu peux regarder 10 ??? [11]
ensuite 102 ??? [11]
puis 102 ??? [11] et en déduire une règle sur 10n+1 ??? [11].
Puis 10n+1 -7 (c'est à dire 3*Un) ??? [11]
Est-on obligé d'utiliser 10^2 et 10^3 ? Parce que 10≡-1[11] alors je pense qu'on peut directement faire 10^n≡(-1)^n[11] donc 10^(n)*10≡(-1)^n*(-1)[11]
si n est pair 10^(n+1)≡ -1[11]
si n est impair 10^(n+1)≡1[11]
J'avais déjà trouvé que si n est pair, alors 3u(n)≡3[10] et si n est impair, 3u(n)≡5[10] donc c'est possible de retrouver ça avec les congruences de 10^(n+1)-7 à partir de ce que j'ai fait au-dessus, non ?
Aldebarran @ 11-02-2021 à 10:21
Est-on obligé d'utiliser 10^2 et 10^3 ? Parce que 10≡-1[11] alors je pense qu'on peut directement faire 10^n≡(-1)^n[11] donc 10^(n)*10≡(-1)^n*(-1)[11] je pense que tu as voulu écrire 10n*10 (-1)(n+1)
si n est pair 10^(n+1)≡ -1[11] ok
si n est impair 10^(n+1)≡1[11] ok
Est-on obligé d'utiliser 10^2 et 10^3 ? Parce que 10≡-1[11] alors je pense qu'on peut directement faire 10^n≡(-1)^n[11] donc 10^(n)*10≡(-1)^n*(-1)[11] je pense que tu as voulu écrire 10n*10
(-1)(n+1)
si n est pair 10^(n+1)≡ -1[11] ok
si n est impair 10^(n+1)≡1[11] ok
On peut donc généraliser sous la forme :
10(n+1) -(-1)n [11]
D'autre part -7 4 [11]
Que peux-tu conclure sur 10(n+1) - 7 ?
-7≡4[11] donc si n est pair 10^(n+1)≡-1+4[11] donc 10^(n+1)≡3[11]
si n est impair 10^(n+1)≡1+4[11] donc 10^(n+1)≡5[11]
On obtient 3u(n)≡4-(-1)^n[11]
Est-ce suffisant comme conclusion ? Je crains que ça soit trop rapide
Aldebarran @ 11-02-2021 à 11:14
-7≡4[11] donc si n est pair 10^(n+1)≡-1+4[11] donc 10^(n+1)≡3[11] c'est vrai mais ce n'est pas utile pour cette question
si n est impair 10^(n+1)≡1+4[11] donc 10^(n+1)≡5[11] c'est vrai mais ce n'est pas utile pour cette question
On obtient 3u(n)≡4-(-1)^n[11] tu dois dire que 10(n+1) -(-1)n et -74 [11] donc comme 3*Un = 10(n+1) - 7, on a bien 3*Un=4-(-1)n
Est-ce suffisant comme conclusion ? Je crains que ça soit trop rapide
-7≡4[11] donc si n est pair 10^(n+1)≡-1+4[11] donc 10^(n+1)≡3[11] c'est vrai mais ce n'est pas utile pour cette question
si n est impair 10^(n+1)≡1+4[11] donc 10^(n+1)≡5[11] c'est vrai mais ce n'est pas utile pour cette question
On obtient 3u(n)≡4-(-1)^n[11] tu dois dire que 10(n+1)
-(-1)n et -74 [11] donc comme 3*Un = 10(n+1) - 7, on a bien 3*Un=4-(-1)n
Est-ce suffisant comme conclusion ? Je crains que ça soit trop rapide
Pour la dernière question, on te demande de le déduire de la question précédente.
Donc il faut utiliser le fait que 3*Un=4-(-1)n.
Et tu peux raisonner de la façon suivante :
Si Un est divisible par 11 alors 3*Un est divisible par 11, c'est à dire 3*Un 0 [11] or 3*Un=4-(-1)n.
Je te laisse conclure.