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Niveau terminale
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Exercice de congruences

Posté par
Aldebarran
03-02-21 à 15:50

Bonjour,
Je vais avoir un DS sur les congruences et je voudrais avoir votre avis sur ma rédaction et ma manière de résoudre un exercice.

Voici l'énoncé d'un exercice que j'ai fait :
1. Déterminer, suivant les valeurs de l'entier naturel n, le reste de la division euclidienne de 2^n par 5.
2. Quel est le reste de la division euclidienne de 1357^2013 par 5 ?

Voici mes réponses.
1. Modulo 5, tout nombre n ∈ ℕ est congru à 0, 1, 2, 3 ou 4. D'où le tableau de congruences :
mod 5, n ≡  0   1   2   3   4
          2^n ≡  1   2   4   3   1
D'après le tableau de congruences, les restes de la division euclidienne de 2^n par 5 sont périodiques modulo 4.
Modulo 4, tout n ∈ ℕ peut s'écrire sous la forme 4k, 4k + 1, 4k + 2 ou 4k + 3, avec k ∈ ℕ.
Par disjonction des cas :
Si n=4k : 2^4 ≡ 1[5] donc (2^4)^k ≡ 1^k[5] donc 2^4k ≡ 1[5]
Si n=4k + 1 : 2^4k ≡ 1[5] et 2 ≡ 2[5] donc 2^4k * 2 ≡ 1*2[5] donc 2^(4k + 1) ≡ 2[5]
Si n=4k + 2 : 2^(4k + 1) ≡ 2[5] donc 2^(4k + 1)*2 ≡ 2*2[5] donc 2^(4k + 2) ≡ 4[5]
Si n=4k + 3 : 2^(4k + 2) ≡ 4[5] donc 2^(4k + 2)*2 ≡ 4*2[5] donc 2^(4k + 3) ≡ 3[5]

Ainsi les restes de la division euclidienne de 2^n par 5 sont 1, 2, 4 et 3.

Cependant j'ai aussi pu répondre à la question avec seulement le tableau de congruences. Le tableau est-il suffisant comme justification ?
Comment savoir si l'on peut utiliser seulement le tableau de congruences ou pas ? Y a-t-il des indices dans l'énoncé ?

2. 1357 ≡ 2[5] car 1357 = 271*5+2 avec 0<=2<5
donc 1357² ≡ -1[5]
donc (1357²)^1006 ≡ (-1)^1006[5]
donc 1357^2012 ≡ 1[5] car 1006 est pair
donc (1357^2012)*1357 ≡ 1*2[5]
donc 1357^2013 ≡ 2[5]
Ainsi le reste de la division euclidienne de 1357^2013 par 5 est 2.

Je trouve la même réponse que dans la correction sans avoir fait pareil, mais il me manque une partie de la correction, et ce que j'ai écrit est assez particulier (comme par exemple 2013 = 503*5+1)...

Merci.

Posté par
carpediem
re : Exercice de congruences 03-02-21 à 17:14

salut

oui le tableau suffit ! le reste est un peu du "blaba" : c'est dire/traduire en français les résultats de ton tableau

et en tout cas c'est maladroit : simplement dire alors :

si n = 4k alors 2^n = 2^(4k) = (2^4)^k = 1^k = 1  [5]
si n = 4k + 1 alors 2^n = 2^(4k + 1) = (2^4)^k * 2 = 2  [5]
si ...

PS : les = pour

pour 2 c'est bon ...

mais commence par :

1357 = 1355 + 2  donc 1357 = 2 [5]

"on sait" depuis ... longtemps que 1355 est multiple de 5 et que 0 <= 2 < 5 !!

pareil pour "car 1006 est pair" : tu peux l'écrire ... mais bon c'est admis en terminale ...

Posté par
Aldebarran
re : Exercice de congruences 03-02-21 à 17:21

Merci !

Posté par
carpediem
re : Exercice de congruences 03-02-21 à 17:22

de rien

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Exercice de congruences 03-02-21 à 19:06

Bonjour,
Une remarque sur le début :

Citation :
Modulo 5, tout nombre n ∈ ℕ est congru à 0, 1, 2, 3 ou 4. D'où le tableau de congruences :
mod 5, n ≡ 0 1 2 3 4
2^n ≡ 1 2 4 3 1

Parler de \; n modulo 5 \; est hors sujet.
Ce qui intervient, ce sont les restes possibles de n par 4.
A présenter comme montré par carpediem.



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