Bonjour,
Je vais avoir un DS sur les congruences et je voudrais avoir votre avis sur ma rédaction et ma manière de résoudre un exercice.
Voici l'énoncé d'un exercice que j'ai fait :
1. Déterminer, suivant les valeurs de l'entier naturel n, le reste de la division euclidienne de 2^n par 5.
2. Quel est le reste de la division euclidienne de 1357^2013 par 5 ?
Voici mes réponses.
1. Modulo 5, tout nombre n ∈ ℕ est congru à 0, 1, 2, 3 ou 4. D'où le tableau de congruences :
mod 5, n ≡ 0 1 2 3 4
2^n ≡ 1 2 4 3 1
D'après le tableau de congruences, les restes de la division euclidienne de 2^n par 5 sont périodiques modulo 4.
Modulo 4, tout n ∈ ℕ peut s'écrire sous la forme 4k, 4k + 1, 4k + 2 ou 4k + 3, avec k ∈ ℕ.
Par disjonction des cas :
Si n=4k : 2^4 ≡ 1[5] donc (2^4)^k ≡ 1^k[5] donc 2^4k ≡ 1[5]
Si n=4k + 1 : 2^4k ≡ 1[5] et 2 ≡ 2[5] donc 2^4k * 2 ≡ 1*2[5] donc 2^(4k + 1) ≡ 2[5]
Si n=4k + 2 : 2^(4k + 1) ≡ 2[5] donc 2^(4k + 1)*2 ≡ 2*2[5] donc 2^(4k + 2) ≡ 4[5]
Si n=4k + 3 : 2^(4k + 2) ≡ 4[5] donc 2^(4k + 2)*2 ≡ 4*2[5] donc 2^(4k + 3) ≡ 3[5]
Ainsi les restes de la division euclidienne de 2^n par 5 sont 1, 2, 4 et 3.
Cependant j'ai aussi pu répondre à la question avec seulement le tableau de congruences. Le tableau est-il suffisant comme justification ?
Comment savoir si l'on peut utiliser seulement le tableau de congruences ou pas ? Y a-t-il des indices dans l'énoncé ?
2. 1357 ≡ 2[5] car 1357 = 271*5+2 avec 0<=2<5
donc 1357² ≡ -1[5]
donc (1357²)^1006 ≡ (-1)^1006[5]
donc 1357^2012 ≡ 1[5] car 1006 est pair
donc (1357^2012)*1357 ≡ 1*2[5]
donc 1357^2013 ≡ 2[5]
Ainsi le reste de la division euclidienne de 1357^2013 par 5 est 2.
Je trouve la même réponse que dans la correction sans avoir fait pareil, mais il me manque une partie de la correction, et ce que j'ai écrit est assez particulier (comme par exemple 2013 = 503*5+1)...
Merci.