Niveau LicenceMaths 2e/3e a

exercice de connexité

Posté par
Saiga 09-04-20 à 07:07

Bonjour,

j'ai un souci à rédiger l'exercice suivant :

Soit $X$ un espace topologique connexe.
On considère : $g_1$ et $g_2$ deux applications continues de $X$ dans $\C$ et $n\in \N\backslash\{0\}$ .

1) Montrer que si $\exp(2i\pi g_1) = \exp(2i\pi g_2)$ alors $g_1-g_2$ est égale à une constante entière.

2) Montrer que si $g_1^n = 1$ , alors : $g_1$ est égale une constante racine $n$ -ième de l'unité.

Pour l'instant, j'ai juste dit que :

$\exp(2i\pi g_1)=\exp(2i\pi g_2) \leftrightarrow \exp(2i\pi[g_1-g_2])=1=\exp(2ik\pi)$ pour $k\in \Z$

Je suis très tenté de dire que cela implique que $(g_1-g_2)$ semble être une application continue de $X$ dans $\C$ et d'utiliser la connexité de $X$ pour conclure, mais j'ai peur de louper quelque chose...

Posté par re : exercice de connexité 09-04-20 à 07:41

Bonjour,
Si le C de ta derniere phrase est en fait un Z, alors oui, c'est la bonne approche.

Posté par re : exercice de connexité 09-04-20 à 07:52

Alors, le C de la partie en "gras" est bien un C, en revanche celui des deux dernières ligne de mon message est en effet un Z...

Posté par re : exercice de connexité 09-04-20 à 07:54

Ai-je le droit d'affirmer cela directement, n'y a-t-il pas un argument d'analyse complexe à faire intervenir ?

Posté par re : exercice de connexité 09-04-20 à 07:59

Affirmer quoi? Que g1-g2 est à valeur dans Z? Ben tu sais que $e^{2i\pi z}=0$ ssi z est dans Z?

Posté par re : exercice de connexité 09-04-20 à 08:08

Oui, d'accord, j'ai très mal rédigé cela au brouillon du coup j'arrivais à quelque chose du type : $g_1-g_2 = k$ pour tout $k$ dans $\Z$ etc...

Mais du coup oui $g_1-g_2$ est à valeur dans $\Z$ , puisque $\exp(2i\pi[g_1-g_2])=1$ et qu'en effet on sait que $\exp(2i\piz)=1\Leftrightarrow z\in \Z$ ...

En effet, c'est bête comme chou !

Posté par re : exercice de connexité 09-04-20 à 08:10

Saiga @ 09-04-2020 à 08:08

Mais du coup oui $g_1-g_2$ est à valeur dans $\Z$ , puisque $\exp(2i\pi[g_1-g_2])=1$ et qu'en effet on sait que $\exp(2i{\color{red}{\pi z}})=1\Leftrightarrow z\in \Z$ ...

Posté par re : exercice de connexité 09-04-20 à 14:19

Bonjour Saiga

Je doute de la rédaction 09-04-20 à 08:08 :

$\exp(2i\pi[g_1(x)-g_2(x)])=1$ est équivalent à $\forall x \in X, \exists k(x)\in \Z,g_1(x)-g_2(x)=k(x)$

Or $g_1, g_2$ sont continues, donc $g_1-g_2=k$ l'est.

Donc $k : X \rightarrow \Z$ est continue d'un topologique connexe dans $\Z$ ; ça ne donne pas 36 possibilités pour $k$
_______________

mokassin @ 09-04-2020 à 07:59

Affirmer quoi? Que g1-g2 est à valeur dans Z? Ben tu sais que $e^{2i\pi z}=\red 1$ ssi z est dans Z?

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