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Exercice de denombrement

Posté par
Toto62
05-03-12 à 18:16

Bonsoir à tous, voici l'enoncé du probleme ou je rencontre des difficultés

On répartit au hasard 4 chevaux numérotés de 1 à 4 dans 4 boxes également numérotés
de 1 à 4.(Chaque boxe peut recevoir tous les chevaux)
1. Combien y a-t-il de répartitions possibles ?
2. Combien y a -t-il de répartitions pour lesquels aucun box n'est vide ?

Ma reponse a la premiere question: (4^4)*4!  (sans grande conviction...)
Est-ce correct?
Merci !!

Posté par
cailloux Correcteur
re : Exercice de denombrement 05-03-12 à 18:29

Bonjour,

1) On a 4 choix possibles pour le cheval 1

idem pour les chevaux 2,3 et 4

Ce qui donne 4^4 répartitions possibles.





Posté par
Toto62
re : Exercice de denombrement 05-03-12 à 18:47

Ok, merci je me suis compliqué inutilement ^^

Pour la reponse 2 j'ai : (4^4)-(1+(2^4)+(3^4))

Votre verdict... ??

Posté par
cailloux Correcteur
re : Exercice de denombrement 05-03-12 à 19:09

Apparemment, tu as trouvé 1+2^4+3^4=98 répartitions où au moins un boxe est vide.

Je crois qu' il y en a plus.

Comment les as-tu dénombrés ?

Posté par
Toto62
re : Exercice de denombrement 05-03-12 à 19:16

Il faut qu'aucun box ne soit vide donc il faut eliminer
les cas:
1 des 4 box est vide, on reparti les chevaux dans les 3 restants --> 3^4 possibilités
2 des 4 box sont vide, on reparti les chevaux dans les 2 restants --> 2^4 possibilités
3 des 4 box sont vide, on reparti les chevaux dans le dernier box restants --> 1 possibilité

non ?

Posté par
pgeod
re : Exercice de denombrement 05-03-12 à 19:43

je t'avance un peu, en l'absence de Cailloux

2/
si aucun box vide, alors 1 cheval par box.
c'est donc le nombre d'arrangements de 4 éléments pris parmi 4.

Posté par
Toto62
re : Exercice de denombrement 05-03-12 à 19:55

Ok, donc par exemple s'il y avait 8 chevaux se serait 4 parmis 8...

Du coup je vois pas trop mon erreur

Merci en tout cas!

Posté par
Toto62
re : Exercice de denombrement 05-03-12 à 20:18

Dsl du double post

En fait oui c'est tout bête mais il y a un moment où on reste collé aux chiffres sans penser à l'exemple ^^

quand je dis: "1 des 4 box est vide, on reparti les chevaux dans les 3 restants --> 3^4 possibilités" parmis ces possibilité il y en a avec 2 boxes vides par exemple dc c'est faux

Posté par
cailloux Correcteur
re : Exercice de denombrement 05-03-12 à 20:41

Ta dernière remarque est juste mais tu aurais du faire le décompte suivant:

1 boxe vide qu' on choisit parmi les 4 boxes et on répartit les 4 chevaux dans les 3 boxes restants, soit \binom{4}{1}\times 3^4 possibilités.

2 boxes vides qu' on choisit parmi 4 ...

Mais tu l' as bien vu, en procédant de cette manière, on compte plusieurs fois une même situation.

Posté par
cailloux Correcteur
re : Exercice de denombrement 05-03-12 à 20:41

Et bonsoir pgeod

Posté par
pgeod
re : Exercice de denombrement 05-03-12 à 22:11

le décompte par soustraction n'est pas très simple .

1 exactement des 4 box est vide : 144 possibilités (celui-là est pas facile en décompte direct)
2 exactement des 4 box est vide : 84 possibilités
3 exactement des 4 box est vide : 4 possibilités

soit 44 - (144 + 84 + 4) = 256 - 232 = 24 = 4!

Posté par
Frederick
re : Exercice de denombrement 09-03-12 à 22:42

Bonsoir à tous,

Je pense que le numéro des boxes est juste une précision, ce que l'on cherche est nombres de répartitions possibles pour lesquelles aucun box n'est vide.
Pour cela, on utilise la factorielle, donc :
2. Le nombre de répartitions possibles est n!, où n est le nombre de chevaux, donc n=4 => 4! = 24.



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