Niveau autre

exercice de fin de chapitre

Posté par
klm 29-12-14 à 12:56

bonjour je n'arrive pas du tout cet exercice on en a 3 j'ai réussi les 2 autres mais celui j suis vraiment perdu merci de votre aide

Soit f la fonction , qui, à tout complexe z différent de -2i associe Z=f(z)=(z-2+i)/(z+2i)
On appelle A et B les points d'affixes respectives Za=2-i et Zb=-2i
En remarquant Z=(z-Za)/(z-Zb) déterminer :

A) l'ensemble C des points M d'affixe z, tels que Z soit réel
B) l'ensemble F des points M d'affixe z, tels que Z soit uniquement imaginaire pur
C) calculer module de f(z)-1 fois module z+2i , et en déduire que les points M' d'affixe Z , lorsque que le point M d'affixe z parcourt le cercle de centre B et de rayon 5 , sont tous sur ce même cercle dont on précisera le rayon et l'affixe du centre

Merci de votre j'aimerais comprendre comment il faut raisonner pour trouver les résultats merci d'avance de votre aide

Posté par re : exercice de fin de chapitre 29-12-14 à 13:16

pour t'expliquer, le plus dans ce genre d'ex est d'écrire ton complexe de départ (le z) sous sa forme algébrique x+iy (ou on est bien d'accord, x et y sont des réels)

tu peux alors calculer Z sous une forme algébrique:

Z=(x+iy-2+i)/(x+iy+2i)=Z=(x+iy-2+i)/(x+i(y+2))

on fait la manie ultra classique de mltiplier en haut et en bas par l'opposé pour faire disparaitre les "i"

Z=Z=(x+iy-2+i)(x-i(y+2))/(x+i(y+2))(x-i(y+2)

au deniminateur c'est de la forme (a+ib)(a-ib) donc ça vaut (a^2+b^2)

Z=(x+iy-2+i)(x-i(y+2))/(x^2+(y+2)^2)

on simplifie le numérateur

Z=(x-2+i(y+1))(x-i(y+2)) /(x^2+(y+2)^2)

Z=(x^2+y^2+3y+2-2x+i(-x+2y+4)) /(x^2+(y+2)^2)

c'est un expression assez compliqué mais qui est de la forme Z=A+iB (vérifie mes calculs)

ensuite tu appliques:
a) on veut Z réel, ça veut dire B=0
donc B=(-x+2y+4)) /(x^2+(y+2)^2)=0
ce qui revient à -x+2y+4=0 t ça c'est une droite.
donc tous les "z" qui vérifie cette droite, ont une image Z réelle.

b) idem on veut A=0
la ca va te donner x^2+y^2+3y+2-2x=0
qui est plutôt un cercle

Posté par re : exercice de fin de chapitre 29-12-14 à 13:22

Bonjour,

Il faut utiliser l'aide donnée "En remarquant Z=(z-Za)/(z-Zb)"

Et le fait que $\large (\vec {AB};\vec {CD}=arg(\frac{Z_D-Z_C}{Z_B-Z_C})$

Posté par re : exercice de fin de chapitre 29-12-14 à 13:25

Fautes de frappe ! pardon

$\large (\vec%20{AB};\vec%20{CD})=arg(\frac{Z_D-Z_C}{Z_B-Z_A})$

Posté par re : exercice de fin de chapitre 29-12-14 à 13:29

arg(Z)=arg((z-2+i)/(z+2i) )= angle( $(vectBM,vectAM)$ )
Z est réel ssi arg(Z)=0()
donc angle $(vectBM,vectAM)$ =0()
donc M appartient à la droite (AB)..
Essaye de faire le même raisonnement pour la 2.