1 et 2)
f(x) = 8*(2x-3)/(x²+4)
Domaine d'existence de f(x): R

f '(x) = 8(2x²+8 -2x(2x-3))/(x²+4)²    
f '(x) = 8(-2x²+6x+8)/(x²+4)²  
f '(x) = -16(x²-3x-4)/(x²+4)²
f '(x) = -16(x-4)(x+1)/(x²+4)²
                
(x²+4)²> 0 quel que soit x dans R -> f '(x) a le signe de -16(x-4)(x+1)

f '(x) < 0 pour x dans ]-oo ; -1[ -> f(x) décroissante.
f '(x) = 0 pour x = -1
f '(x) > 0 pour x dans ]-1 ; 4[ -> f(x) croissante.
f '(x) = 0 pour x = 4
f '(x) > 0 pour x dans ]4 ; oo[ -> f(x) décroissante.

Il y a un minimum de f(x) pour x = -1, ce min vaut f(-1) = -8.
Il y a un minimum de f(x) pour x = 4, ce max vaut f(4) = 2.
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3)
f(-6) = -3  -> A(-6 ; -3)
f(3/2) = 0  -> B(3/2 ; 0)
f(6) = 1,8  -> C(6 ; 1,8)

Le coefficient directeur de AB est: 3/((3/2)+6) = 3/(15/2) = 6/15 =
2/5 = 0,4.
Le coefficient directeur de AC est: (1,8-(-3))/(6-(-6)) = 4,8/12 = 0,4.

AB est donc // à AC, et comme le point A est commun, A, B et C sont
alignés.
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4)

f(-6) = -3
f '(-6) = -16(-6-4)(-6+1)/(6²+4)² = -800/1600 = -0,5
T: (y +3) = (x + 6).(-0,5)
T : y + 3 = -0,5x - 3
T : y = -0,5x - 6
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5)

T(0) = -6 -> T passe par (0 ; -6)
f(0) = 8*(0-3)/(0+4) = -6

Donc T passe bien par le point de C d'abscisse nulle.
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6)

f(x) = -4
8*(2x-3)/(x²+4) = -4
16x - 24 = -4x² - 16
4x² + 16x - 8 = 0
x² + 4x - 2 = 0
x = -2 +/- V(4 + 2)
x = -2 +/- V6
x = -4,449... et x = 0,449... donc 2 solutions dans l'intervalle
[-5;1]

En voyant la question sur l'encadrement je renifle que tu n'as
par appris à calculer comme ci-dessus.
Si c'est le cas, adapte en fonction de ce que tu connais.

-4,5 < x1 < -4,4   et  0,4 < x2 < 0,5
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Sauf distraction.