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exercice de logique

Posté par
moundir
21-08-14 à 23:33

bonjour

Une equivalence que jarrive pas  à demontrer:
(x+\sqrt {x^2+1})(y+\sqrt {y^2+1})=1\Longleftrightarrow x+y=0

Merci

Posté par
Gammat
re : exercice de logique 22-08-14 à 00:16

(x+\sqrt {x^2+1})(y+\sqrt {y^2+1})=1
 \\ \Longleftrightarrow e^{argsh (x)}e^{argsh (y)}=1
 \\ \Longleftrightarrow e^{argsh (x) +argsh (y)}=1
 \\ \Longleftrightarrow argsh (x) +argsh (y)=0
 \\ \Longleftrightarrow argsh (x) = argsh (-y)
 \\ \Longleftrightarrow x=-y

Posté par
LeHibou
re : exercice de logique 22-08-14 à 00:19

Bonjour,

a)
De droite à gauche, c'est immédiat en posant x = -y ou y = -x et en utilisant une identité remarquable.

b)
De gauche à droite, on montre d'abord que la fonction x -> x + (x²+1) est monotone, croissante, et partout > 0.
On introduit alors les fonctions Fy(x) = (x + (x²+1))(y + (y²+1)) - 1
Pour tout y, la fonction Fy(x) est monotone croissante. Si elle a un zéro, ce zéro est donc unique. Or, d'après a), elle a effectivement un zéro en x = -y, soit x + y = 0.
Donc (x + (x²+1))(y + (y²+1)) - 1 = 0 implique x + y = 0.

Sauf erreur   

Posté par
moundir
re : exercice de logique 22-08-14 à 06:17

Merci les amis pour vos démonstrations sauf que peut etre ça depasse le niveau lyçée

Posté par
LeHibou
re : exercice de logique 22-08-14 à 08:41

Bonjour,

En ce qui concerne ma démonstration, elle utilise :
- le tableau de variation d'une fonction dérivable, en l'occurrence x -> x + (x²+1)
- le théorème sur l'unicité des zéros d'une fonction monotone
Les deux sont au programme de la Terminale.

Posté par
moundir
re : exercice de logique 22-08-14 à 13:49

Merci le hibou, je parlais surtout pour la 1ère réponse
de même je pensais qu'il y avait plus simple à faire
j'ai commencé à appliquer les expressions conjuguées mais après j'ai bloqué
en tous cas merci pour l'aide

Posté par
Glapion Moderateur
re : exercice de logique 22-08-14 à 14:54

ho si, par les quantités conjuguées, tu finis par y arriver.
donc tu divises par les deux quantités conjuguées ce qui te fait \dfrac{1}{(x-\sqrt{x^2+1})(y-\sqrt{y^2+1})}=1 (x-\sqrt{x^2+1})(y-\sqrt{y^2+1})=1
tu développes ça ainsi que (x+\sqrt{x^2+1})(y+\sqrt{y^2+1})=1 et tu les ajoutes membre à membre
il reste xy+\sqrt{x^2+1}\sqrt{y^2+1}=1 et donc y\sqrt{x^2+1}+x\sqrt{y^2+1}=0 \dfrac{x}{y} =-\dfrac{\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{y^2+1}} \dfrac{x^2}{y^2}=\dfrac{x^2+1}{y^2+1} =1 donc x²=y²

la solution x=y est parasite et il reste y=-x

Posté par
moundir
re : exercice de logique 22-08-14 à 17:52

C'est ce que je m'étais dit, passage par les quantités conjugués
chaque fois qu'il a inégalité avec des racines il faut y penser!
merci glapion

Posté par
bulotmath
re : exercice de logique 29-08-14 à 14:33

Bonjour,

Ayant découvert récemment la notion d'équivalence j'ai lu cet exercice, je me demandait si a partir du moment ou on considère que celle ci est vrai, on pouvait répondre sans tenir compte de ce qui était entre les parenthèses ?

Par exemple comme cela :

si ab=1 et a+b=0 ; a=1/b et b=1/a

1/a+1/b=0 ; 1/a=-1/b

Ce qui donnerait b=-1 et a=1 ou l'inverse. Ce qui ferait -b=a et a+b=0

Posté par
Glapion Moderateur
re : exercice de logique 29-08-14 à 14:40

je ne comprends pas bien toutes tes implications. Si ab=1 et a+b=0 alors a + 1/a= 0 (a²+1)/a=0 a²=-1 impossible, donc le système n'a pas de solutions dans

mais je ne sais pas si j'ai bien compris ta question. tu te demandes quand est-ce que l'on a le droit de mettre des équivalences ?

(par exemple remarque que dans ma démonstration du 22-08-14 à 14:54, je n'ai mis que des implications et pas d'équivalences (parce que c'était plus simple) et que je me suis ramassé une solution parasite que j'ai rejeté à la fin en revérifiant l'équation du début.

Posté par
bulotmath
re : exercice de logique 29-08-14 à 14:54

Non c'est moi qui ai fait erreur, je ne sais pas pourquoi j'ai mis a=1 et b=-1.
Je voulai vérifier si on pouvait dire que si  1/a=-1/b alors on pouvait dire b=-a et par la démontrer l'implication.
Pour les équivalences ce n'etait pas tout a fait une question, j'essayai plutot en fait de trouver un rapport avec les notions que j'essaye d'acquérir sur les relations. Mais finalement ca me fait plus penser aux exercices sur les operations internes que je suis en train de faire. D'ailleurs si quelqu'un veut repondre a mes questions sur mon post c'est avec plaisir

Posté par
Glapion Moderateur
re : exercice de logique 29-08-14 à 14:57

Oui, un produit en croix sur 1/a=-1/b donne b=-a

Mais à part ça, je n'ai pas compris ta question.

Posté par
bulotmath
re : exercice de logique 29-08-14 à 15:09

Je voulai savoir si on pouvait répondre a l'exercice de moundir en écrivant :

ab=1 <=> a+b=0 ;

a=1/b et b=1/a

1/a+1/b=0 ; 1/a=-1/b

-b=a et a+b=0

Car en fait je me demandai; si comme c'était deux termes multiplie entre eux avec de chaque cote de l'opérateur un terme identique comprenant chacun une variable distincte, et que de chaque cote de l'addition aussi, on pouvait apeller les termes comprenant x : A et ceux comprenant y : B ?
Et si ça démontrait l'implication de départ ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : exercice de logique 29-08-14 à 15:24

Mais non, ab=1 n'est pas équivalent à a+b=0
tu peux faire des changements de variables et appeler a ce que tu veux et b aussi mais fais le clairement.

Posté par
bulotmath
re : exercice de logique 29-08-14 à 15:42

C'est vrai ca marche pas a cause des racines... Comment faire, tout mon raisonnement est a jeter a la poubelle ?
Peut etre puis je dire que a=x²  et pour b pareil ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : exercice de logique 29-08-14 à 16:01

je ne sais pas, je n'ai pas compris ton raisonnement.

Posté par
bulotmath
re : exercice de logique 29-08-14 à 18:26

Je pense que c'est normal, j'ai utilise a et b de manière un peu brutale, et je ne vois pas comment faire pour relier le produit et la somme avec les mêmes variables a et b de façon aussi simple sans tenir compte des racines et puissances.

Posté par
Glapion Moderateur
re : exercice de logique 29-08-14 à 18:34

Et oui, c'est pour ça que l'exercice n'est pas facile.

Posté par
bulotmath
re : exercice de logique 29-08-14 à 18:46

En effet j'ai foncé tête baissée Juste pour avoir confirmation, et j'espere ne pas faire fausse route une nouvelle fois ,
est ce que ça démontrerait comme ça :

(x+x+1)(y+y+1)=1

4xy+2x+2y=0

x= -x-y/y  y= x+y/x

x-y/y = -y+x/x  

x(-x-y) = y(x+y)

x = -y

Posté par
bulotmath
re : exercice de logique 29-08-14 à 18:59

J'ai encore fait une erreur je crois...

Posté par
bulotmath
re : exercice de logique 29-08-14 à 19:10

Non c'est bon j'ai l'impression..., j'ai juste ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : exercice de logique 29-08-14 à 23:36

je suis désolé, mais c'est incompréhensible, ta démonstration.
tu veux démontrer que (x+\sqrt {x^2+1})(y+\sqrt {y^2+1})=1\Longleftrightarrow x+y=0

tu poses quoi égal quoi et quelle est ta logique ?

Posté par
bulotmath
re : exercice de logique 30-08-14 à 00:14

Oui je l'ai mal écrite , je la reposterai demain. A cette heure je n'arrive plus a grand chose. Bonne nuit

Posté par
bulotmath
re : exercice de logique 31-08-14 à 15:47

Bonjour,

J'ai reecris ce que je voulais dire au depart meme si je sais qu'il y a des erreurs qu'on m'as fait remarquer sur un autre forum. Ca permettra de voir ce que je croyai comprendre :

Je simplifie l'expression a gauche de l'implication :
(x+x+1)(y+y+1)=1

En developpant j'ai :
4xy+2x+2y=0

Pour ensuite trouver x= -x-y/y et y= -x-y/x

Si x+y=0 alors x-y/y = -y+x/x

Je simplifie :
x(-x-y) = y(x+y)

Pour trouver x = -y


De façon plus détaillée, je fait apparaitre les racines de y²+1 et de x²+1 entre chaque paranthese.

Pour trouver x et y je les isole a partir de 4xy+2x+2y=0
que j'ai developper a partir de (x+x+1)(y+y+1)=1

Si x+y=0 alors x-y/y = (-y+x)/x parce que je remplace x par (-x-y)/y et y par y= (-x-y)/x dans x+y=0
J'ai oublie les parantheses :s en effet ...

Pour la derniere ligne j'ai remarquer que les x et y dans les parantheses etaient les opposes de part et d'autre de l'egalite.
Comme les deux parantheses ont pour facteur l'une x et l'autre y, je me suis dit qu'en changeant le signe de y cela permettait de changer les signes de la paranthese accolee. Et en simplifiant ensuite faire apparaitre x=-y

Posté par
Glapion Moderateur
re : exercice de logique 31-08-14 à 15:54

l'expression à gauche de l'implication, ça n'est pas (x+x+1)(y+y+1)=1
j'espère que tu ne penses pas que \sqrt{x^2+1}=x+1

Posté par
bulotmath
re : exercice de logique 31-08-14 à 16:06

Non je sais (sauf erreur ) que rac(x²+1) = |x|+1
Mais je me disai que comme a cote des racines on retrouvait +x et +y le fait de perdre la valeur du signe dans les racines n'etaient pas grave

Posté par
Glapion Moderateur
re : exercice de logique 31-08-14 à 16:11

rac(x²+1) = |x|+1 tu plaisantes ? révise ton cours de 3 ième. (a²+b²) a + b !!

élève au carré des deux cotés, tu verras bien.

Posté par
bulotmath
re : exercice de logique 31-08-14 à 16:21

En effet, c'est grave



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