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Niveau quatrième
Exercice de Maths
Posté par titi97434
Bonjour, j'ai un exercice de maths que je n'arrive pas à faire. Le voici:
"On a vu dans l'exercice 65 que le quadrilatère reliant les milieux des côtés d'un quadrilatère quelconque est un parallélogramme. Inversement, étant donné un parallélogramme, on peut construire un quadrilatère quelconque dont les sommets sont les milieux des côtés du quadrilatère quelconque.
1) Construire sur une feuille blanche un parallélogramme ABCD tel que: AB= cm, AH= 3 cm et l'angle ABC= 50°.
2) Construire un quadrilatère IJKL tel que les points A, B, C et D soient les milieux respectifs des côtés IJ, JK, KL et LI.
3) Démontrer l'aire de IJKL.
J'ai fait la figure (voir l'illustration ci-dessous) mais je n'arrive pas à démontrer l'aire de IJKL. Au début, je voulais calculer l'aire du parallélogramme puis celles des triangles DIA, AJB, BKC et CLD. Mais pour calculer l'aire des triangles j'ai besoin de leurs hauteurs, or, je ne les ai pas. C'est à ce moment là que je bloque.
Merci d'avance pour votre aide 
bonjour,
Citation :
démontrer l'aire de IJKL
curieuse expression ...
démontrer l'aire de IJKL
calculer l'aire
ou démontrer que l'aire est égale à ceci/celà
bref gwendolin t'a indiqué comment calculer l'aire de ABCD (une fois l'énoncé complèté)
et on te demande l'aire de IJKL, un petit découpage avec les propriétés de la droite des milieux devrait permettre d'obtenir l'aire de IJKL à partir de l'aire de ABCD :
M milieu de IK
montrer que les 4 triangles bleus ont même aire
et idem pour les triangles rouges
montrer que la somme des aires des deux triangles rouge et bleu foncés est égale à la moitié de l'aire de ABCD
nota : les téléphones portables savent aussi prendre des photos à l'endroit, si on oublie le mode "miroir pour se remaquiller".
les triangles AIM, ABM et MBK ont même hauteur
d'après Thalès A(JAB)=1/4*A(JIK)
.......................
Citation :
ont même hauteur
et même base (droite des milieux)
ont même hauteur
parce que juste "même hauteur" ne suffit pas à affirmer qu'ils ont même aire
Encore une question, comment puis-je prouver que les 4 triangles bleus et les 4 triangles rouges ont le même aire ?
Merci d'avance
ils ont même base et même hauteur. (le justifier par la droite des milieux, déja dit)
attention
les 4 triangles bleus ont la même aire
les 4 triangles rouges ont la même aire, différente de celle des triangles bleus
il faut s'intéresser ensuite à la somme des aires du triangle bleu foncé et du triangle rouge foncé pour la comparer avec l'aire du parallélogramme
L'ennui, c'est que je ne comprend pas comment ils peuvent voir la même base et la même hauteur...
Je ne connaîs aucune propriété de la droite des milieux qui pourrait l'expliquer
dans un triangle (ici IJK) le segment (ici AB) qui joint les milieux de deux côtés (ici A milieu de IJ et B milieu de JK par construction relire l'énoncé)
est parallèle au 3ème côté (donc AB // IK) et égal à sa moitié (AB = IK/2)
comme M est par définition de ce point M que j'ai créé le milieu de IK, IM = KM = IK/2
donc AB = IM = KM : les 4 triangles bleus ont la même base (en mesure)
pour la hauteur, que les trois triangles bleus du bas AIM, MAB et MBK ont la même hauteur h1 (en mesure) est une évidence puisque AB est parallèle à IK
je complète ma figure :
et que cette hauteur soit la même que celle de JAB me semble aussi "évident"
une justification formelle peut se faire par les "réductions" : A et B milieux de IJ et JK montre que le triangle JAB est une réduction dans le rapport 1/2 du triangle JIK (ou on peut dire "Thalès" aussi, mais pas en 4ème, les réductions, si, c'est du niveau)
et donc la hauteur de JAB est la moitié de celle de JIK et comme en lui ajoutant h1 on obtient cette hauteur de IJK, c'est que h1 et la hauteur de JAB sont égales, et égales à la moitié de celle de IJK
même raisonnement pour les triangles rouges et h2
D'accord... J'ai enfin compris! Au début je croyais que vous me parliez de la même base mais pas en mesure, du coup je ne comprenais pas... Mais maintenant c'est bon! Je vous remercie !!!
Mais pour calculer l'aire, j'ai besoin de connaître la mesure de la longueur, or je ne la connaît pas... comment puis- je faire ?
eh bien h1 s'écrit h1 et c'est tout.
rien à faire des valeurs numériques, d'ailleurs avec ABCD donnés il existe une infinité de figures qui satisfont au problème et donc une infinité de valeurs numériques de h1
on calcule en symbolique
c'est d'ailleurs exclusivement ça des maths : du calcul symbolique et du raisonnement
pas taper des touches sur une calculette !!
h1 s'appelle h1 (c'est ça sa valeur, écrite comme ça et pas autrement)
et h2 s'écrit h2
et h1 + h2 = ?? (et là oui, tiens tu peux "si ça te chante" (= par paresse de penser) donner la valeur numérique de h1 + h2
mais h1 et h2 eux mêmes sont des valeurs absolument quelconques.
on ne peut connaitre que leur somme.
c'est bien ce que j'ai dit aussi.
je n'ai jamais parlé de calculer l'aire du triangle ABM et l'aire du triangle CDM
j'ai parlé de calculer la somme de ces deux aires, hein .