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Niveau seconde
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Exercice de maths: trigonométrie

Posté par
petitebosseuse
11-06-17 à 15:16

Bonjour à tous (je suis en seconde ) et  depuis tout à l'heure je bloque sur un exercice de trigonométrie en maths le voici: Démontrer que pour tout réel x on a :
(1+cosx+sinx)^2 =2(1+sinx)(1+cosx)
__________________________________________

Dans le 2ème membre j'ai commencé par distribuer 2 sur 1+sinx. Ce qui donne 2+2sinx(1+cosx) mais je ne sais plus quoi faire après :/ si quelqu'un pouvait m'aider en m'expliquant bien les étapes détaillées ça serait vraiment très gentil, merci d'avance.

Posté par
Leile
re : Exercice de maths: trigonométrie 11-06-17 à 15:39

bonjour,
(1+cosx+sinx)² =
( (1+cos x )  + sin x) ²
(1+cos x) ² + 2sinx (1+cosx) + sin² x
= ...  

continue à développer et réduis (tu sais que cos² x + sin²x = 1)
puis mets 2 en facteur..

d'autre part
2(1+sinx)(1+cosx)  = 2 (1 + sinx + cos x + sinx cos x)..

tu y es ?

Posté par
petitebosseuse
re : Exercice de maths: trigonométrie 11-06-17 à 16:25

Mercii de m'avoir répondu, j'ai continué le développement, du coup j'ai utilisé l'identité remarquable (a+b)^2  pour (1+cosx)^2,  ça m'a donné :
1^2 +cos2(x)+2cosx
=1^2 +cos2x+2cosx+2sinx *(1+cosx)+sin2x
Ensuite je vois que y'a cos2x + sin2x donc ça fait 1 non ? Ducoup ça fait
=1+1+2cosx+2sinx*(1+cosx)
=2+2cosx+2sinx*(1+cosx)
Je sais pas si c'est bon mais je sais pas quoi faire maintenant

Posté par
petitebosseuse
re : Exercice de maths: trigonométrie 11-06-17 à 16:30

Et j'ai pas compris ça : 2(1+sinx)(1+cosx)  = 2 (1 + sinx + cos x + sinx cos x)   ://

Posté par
Leile
re : Exercice de maths: trigonométrie 11-06-17 à 16:41

difficile de te lire,
car cos 2x     est différent de cos²x ....

(1+cos x) ² + 2sinx (1+cosx) + sin² x
= 1 + 2 cosx + cos²x + 2sin x  + 2sinx cosx + sin² x
= 1 + 1  + 2cos x + 2sin x + 2sin x cos x
= 2+ 2cos x + 2sin x + 2sin x cos x

je t'ai recommandé de mettre 2 en facteur :
= 2 (1  + cos x + sin x + sin x cos x)

donc (1+cosx+sinx)² = 2 (1  + cos x + sin x + sin x cos x)

d'autre part,  je développe le terme de droite 2(1+sinx)(1+cosx)=2 (1 + sinx + cos x + sinx cos x)

alors  (1+cosx+sinx)² =  2(1+sinx)(1+cosx)
OK ?

"j'ai pas compris ça : 2(1+sinx)(1+cosx)  = 2 (1 + sinx + cos x + sinx cos x)"
j'ai juste appliqué la double distributivité comme tu le faisais au collège.
2 (  1+b ) (1 + d)  = 2 ( 1*1  +  1*d   + b*1  +  b*d) = 2(1 + d + b + bd).


Posté par
petitebosseuse
re : Exercice de maths: trigonométrie 11-06-17 à 18:34

Excusez moi je voulais ecrire cos2x qui est egal à (cos(x))^2 mais je ne trouve pas la touche carré desolé..

"=1 + 2 cosx + cos²x + 2sin x  + 2sinx cosx + sin² x " mais je ne vois pas pourquoi le (1+cos(x)) a disparu parce quand j'applique l'identité remarquable je me retrouve avec: 1^2+(cos(x))^2+2cosx et quand je réécris tout j'ai
=1^2+(cos(x))^2+2cosx+ 2sinx (1+cosx) + (sin(x))^2

"j'ai juste appliqué la double distributivité comme tu le faisais au collège.
2 (  1+b ) (1 + d)  = 2 ( 1*1  +  1*d   + b*1  +  b*d) = 2(1 + d + b + bd).
Ah oui je viens de comprendre desolé.

Posté par
Leile
re : Exercice de maths: trigonométrie 11-06-17 à 18:56

(1+cosx+sinx)² =
( (1+cos x )  + sin x) ²
(1+cos x) ² + 2sinx (1+cosx) + sin² x

jusque là, tu es d'accord ?

(1+ cos x)² = 1 + 2cos x + cos² x    là aussi tu es d'accord ?
et
2 sinx (1 + cos x) = 2 sinx  + 2sinx cos x

c'est cette partie en bleu que tu n'as pas développé..

donc au final on aboutit bien à
1 + 2 cosx + cos²x + 2sin x  + 2sinx cosx + sin² x

comme cos² x + sin² x = 1
on obtient :
= 1 + 1  + 2cos x + 2sin x + 2sin x cos x

OK ?


Posté par
petitebosseuse
re : Exercice de maths: trigonométrie 11-06-17 à 19:24

Ah ouiii ! Bah oui ! je suis totalement d'accord, desolé de mon inattention ://
Du coup c'est là que je mets deux en facteur et ça donne 2(cosx + sinx + sinx*cosx +1) c'est ça ?

Posté par
petitebosseuse
re : Exercice de maths: trigonométrie 11-06-17 à 19:34

Ensuite j'aurai envie de mettre sin(x) en facteur ? Mais je sai pas si c'est bon..

Posté par
Leile
re : Exercice de maths: trigonométrie 11-06-17 à 19:57

voyons, petitebosseuse,
relis mon post de 16h41..  Il n'y a rien de plus à factoriser. On a fait en sorte d'arriver à une expression développée pour le terme de droite comme pour le terme de gauche.
Ne perds pas de vue la question, et lis les aides attentivement.
  

on a
(1+cosx+sinx)² = 2 (1  + cos x + sin x + sin x cos x)
et
2(1+sinx)(1+cosx)=2 (1 + sinx + cos x + sinx cos x)

donc
alors  (1+cosx+sinx)² =  2(1+sinx)(1+cosx)

Quand A = C et B=C   c'est que A = B ..
et il n'y a rien à faire de plus.

Posté par
petitebosseuse
re : Exercice de maths: trigonométrie 11-06-17 à 22:16

Mais pourtant en poursuivant j'ai reussi à trouver directement que A=B sans faire apparaître de C  voici ce que j'ai fais:
2(cosx + sinx + cosxsinx + 1)
J'ai mis sinx en facteur commun je me retrouve ainsi avec 2[ sinx(cosx+1) + (cosx+1) ]
J'ai mis  (cosx+1) en facteur ce qui me donne 2[cosx+1(sinx+1)]
=2(cosx+1)(sinx+1)
N'est ce pas correct ?
Moi j'ai l'impression qu'en faisant apparaître C on ne repond pas directement à la question enfin je sais pas mais ça me perturbe un peu..

Posté par
Leile
re : Exercice de maths: trigonométrie 11-06-17 à 22:41


ta façon de faire est correcte, la mienne l'était aussi. Mais faire un peu des deux ne convient pas..

J'avais été jusqu'au bout en à 16:41  en montrant que les deux termes étaient égaux à un même troisième (ce qui permet de répondre à la question : on peut très bien montrer une égalité comme ça )

Tu vas aussi jusqu'au bout en partant de A pour arriver à B.
Ca marche.
Surtout, ne sois pas pertubée !  

Comme nous avions échangé sur ma démarche, j'ai cru que tu voulais factoriser l'expression développée sur mon post de 16:41.
Ce que tu as écrit est très bien.

Bonne fin de soirée.

Posté par
petitebosseuse
re : Exercice de maths: trigonométrie 11-06-17 à 23:44

Ahhh oui, d'accord je vois, ben en tout cas merci  pour votre aide parce que au début je voyais pas du tout comment commencer et je m'embrouillais un petit peu sans le savoir mais maintenant je vois bien où étaient mes erreurs donc mercii encore. Bonne soirée à vous aussi ^^

Posté par
Leile
re : Exercice de maths: trigonométrie 11-06-17 à 23:49

Posté par
cocolaricotte
re : Exercice de maths: trigonométrie 11-06-17 à 23:52

Bonjour à tous

Il n'y aurait pas dans ton livre, des pages qui permettraient de démontrer que des expressions sont égales ?

Ouvrir son livre cela ne nuit jamais !  



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